Diofantní rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. února 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Diophantine rovnice (také rovnice v celých číslech ) je rovnice formy

P(x_{1},\tečky,x_{m})=0,

kde je celočíselná funkce , například polynom s celočíselnými koeficienty, a proměnné nabývají celočíselných hodnot. "Diophantine" rovnice je pojmenována po starověkém řeckém matematikovi Diophantus . $P$ $x_{i}$

Také při zvažování problému řešitelnosti se proměnné často dělí na parametry (jejichž hodnoty se považují za pevné) a neznámé. Takže rovnice

P(a_{1},\tečky ,a_{n},x_{1},\tečky ,x_{m})=0,

s parametry a neznámými je považováno za řešitelné pro dané hodnoty množiny parametrů , pokud existuje množina čísel, pro kterou se tato rovnost stane pravdivou. $a_{1},\tečky ,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\tečky ,x_{m))$ $(a_{1},\tečky ,a_{n})$ $(x_{1},\tečky ,x_{m})$

Diofantické rovnice se tedy nazývají rovnice s celočíselnými koeficienty, pro které je nutné najít celočíselná (nebo přirozená) řešení. V tomto případě musí být počet neznámých v rovnici alespoň dvě [1] . Rovnice dostaly své jméno na počest vynikajícího starověkého matematika Diophanta z Alexandrie , který je považován za prvního, kdo systematicky studuje neurčité rovnice a popisuje metody jejich řešení [2] . Všechny dochované záznamy jsou shromážděny v knize "Aritmetika" [3] . Po Diophantusovi provedli podobnou studii neurčitých rovnic hinduističtí matematici, počínaje kolem pátého století [4] . V Evropě se řešením neurčitých rovnic zabývali prakticky všichni významní algebraisté své doby: Leonardo Fibonacci (asi 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (asi 1549-1620) [5] .

Úloha řešení rovnic v celých číslech je do konce pro rovnice s jednou neznámou i pro rovnice prvního a druhého stupně o dvou neznámých považována do konce.

Příklady

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Řešení této rovnice jsou pythagorejské trojice . $n=2$
- Podle Fermatovy poslední věty nemá tato rovnice žádná nenulová celočíselná řešení pro . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Eulerova hypotéza říká, že pro jakékoli přirozené číslo n > 2 je tato rovnice v přirozených číslech neřešitelná , to znamená, že žádnou n-tou mocninu přirozeného čísla nelze vyjádřit jako součet n -1 n-tých mocnin jiných přirozených čísel. Hypotéza je zobecněním Fermatovy poslední věty, ale byla vyvrácena pro n = 4 an = 5, načež byla předložena Lander-Parkin-Selfridgeova domněnka . $a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , kde parametr n není přesný čtverec - Pellova rovnice .
$x^{z}-y^{t}=1$ , kde , je katalánská rovnice , která má jedinečné řešení . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ pro a je Thueova rovnice . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Lineární diofantické rovnice

Celkový pohled na lineární diofantinskou rovnici :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

Konkrétně lineární diofantická rovnice se dvěma neznámými má tvar:

ax+by=c.\qquad (1)

Jestliže (to znamená, že největší společný dělitel nedělí ), pak rovnice (1) není řešitelná v celých číslech. Opravdu, jestliže , pak číslo vlevo v (1) je dělitelné , ale číslo vpravo ne. Platí to i obráceně: pokud rovnice platí , pak je řešitelná v celých číslech. $(a,b)\nuprostřed c$ $(a,\;b)$ $C$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $ax+by=c$ $(a,b)\mid c$

Dovolit být konkrétní řešení rovnice . Pak jsou všechna jeho řešení nalezena podle vzorců: $(x_{0},\;y_{0})$ $ax+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .

Konkrétní řešení lze zkonstruovat následovně. Jestliže a je dělitelné , pak po dělení všech koeficientů rovnicí nabývá tvaru , kde . Pro poslední rovnici je konkrétní řešení získáno z Bezoutova vztahu pro : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $C$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ $a_{1},b_{1}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

ze kterého se dá dát $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Existuje explicitní vzorec pro řadu řešení lineární rovnice [6] :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

kde je Eulerova funkce a t je libovolný celočíselný parametr. $\varphi (\cdot)$

Algebraické diofantické rovnice

Při zvažování otázky řešitelnosti algebraických diofantických rovnic lze využít skutečnost, že jakýkoli systém takových rovnic lze převést na jednu diofantovskou rovnici stupně nejvýše 4 v nezáporných celých číslech, řešitelnou tehdy a jen tehdy, je-li původní systém řešitelné (v tomto případě se množina proměnných a množina řešení této nové rovnice mohou ukázat jako zcela odlišné).

Diofantinové sady

Diofantinova množina je množina sestávající z uspořádaných množin n celých čísel, pro které existuje algebraická diofantická rovnice:

P(a_{1},\tečky ,a_{n},x_{1},\tečky ,x_{m})=0,

který je řešitelný právě tehdy, když množina čísel patří do této množiny. Uvažovaná diofantická rovnice se nazývá diofantická reprezentace této množiny. Důležitým výsledkem získaným Yu.V. Matiyasevichem je, že každá spočetná množina má diofantické zobrazení [7] . $(a_{1},\tečky ,a_{n})$

Obecná nerozhodnutelnost

Hilbertův desátý problém , formulovaný v roce 1900 , má najít algoritmus pro řešení libovolných algebraických Diophantine rovnic. V roce 1970 Yu.V. Matiyasevich prokázal algoritmickou neřešitelnost tohoto problému. [osm]

Exponenciální diofantické rovnice

Jestliže jedna nebo více proměnných v diofantické rovnici je zahrnuto ve výrazu pro exponent zvýšení k mocnině , taková diofantická rovnice se nazývá exponenciální .

Příklady:

Neexistuje žádná obecná teorie pro řešení takových rovnic; zvláštní případy, jako je katalánská hypotéza , byly vyšetřovány. Většinu těchto rovnic se však stále daří řešit speciálními metodami, jako je Sturmerova věta nebo dokonce pokus-omyl .

Viz také

Poznámky

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Diofantické rovnice Základní a aplikovaný výzkum v moderním světě. - 2014. - V. 1, č. 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diofantinové a diofantické rovnice - Moskva: Nauka, 1972. - 68 s.
↑ Zhmurova, I. Yu. Diofantické rovnice: od starověku po současnost. Mladý vědec. - 2014. - č. 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu.P. Řecký matematik Diofantovy a diofantické rovnice. Materiály IV všeruské vědecké a praktické konference "Kultura a společnost: historie a moderna" - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Stručný přehled fází vývoje diofantických rovnic. Sborník příspěvků z mezinárodní vědecko-praktické konference "Matematika: základní a aplikovaný výzkum a vzdělávání" - Rjazaň: nakladatelství Ruské státní univerzity. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobjov N. N. Známky dělitelnosti . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 s. - ( Populární přednášky o matematice ).
↑ Diophantine set - článek z Encyclopedia of Mathematics . Yu. V. Matiyaševič
↑ Matiyasevich Yu.V. Hilbertův desátý problém . — M .: Nauka, 1993.

Odkazy

Bashmakova, Isabella G. Diofantinové a diofantické rovnice. M.: Nauka, 1972. Německý překlad: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Anglický překlad: Diophantus and Diophantine Equations . Přeložil Abe Shenitzer s redakční pomocí Hardy Granta a aktualizoval Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. Historie diofantické analýzy od Diofanta po Fermata . Moskva: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), str. 289-306
Bashmakova, Izabella G. „Aritmetika algebraických křivek od Diophanta po Poincaré“, Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Řešení rovnic v celých číslech . - M . : Nauka, 1978. - ( Populární přednášky o matematice ).
Michajlov, I. O diofantické analýze , Kvant . - 1980. - č. 6 . - S. 16-17 :35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlín, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abū Kāmil à Fermat , Berlín, New York : Walter de Gruyter.
Serpinsky VN O řešení rovnic v celých číslech . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 s.
Stepanov S. A. Diofantinové rovnice // Tr. MIAN SSSR. - 1984. - T. 168 . — s. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .