Deskriptivní geometrie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Deskriptivní geometrie  je inženýrská disciplína, která představuje dvourozměrný geometrický aparát a soubor algoritmů pro studium vlastností geometrických objektů.

Prakticky deskriptivní geometrie je omezena na studium objektů v trojrozměrném euklidovském prostoru . Počáteční data by měla být prezentována jako dvě nezávislé projekce. Ve většině úloh a algoritmů se používají dvě ortogonální projekce do vzájemně kolmých rovin.

V současné době nemá disciplína praktickou hodnotu vzhledem k rozvoji výpočetní techniky a aparátu lineární algebry , ale je pravděpodobně nepostradatelná jako součást všeobecného inženýrského vzdělání ve strojírenských a stavebních specializacích.

Deskriptivní geometrie  je věda, která studuje prostorové útvary promítáním (pokládáním) kolmiček na některé tři roviny, které jsou pak považovány za kombinované.

V obvyklém způsobu zobrazování předmětů jsou čáry sahající daleko od oka pozorovatele, ačkoli jsou zobrazeny, v souladu s tím, jak se nám jeví, jsou zkráceny, ale tuto redukci obvykle určuje kreslíř podle oka, a přestože v v některých případech to může být přesně zprostředkované fotografií, ale vztah, ve kterém různé linie zobrazeného předmětu utrpěly kontrakce, zůstává obtížné určit; fotografování navíc v mnoha případech vede i k chybám perspektivy. Každý mistr, ať je to tesař, zámečník, soustružník, kameník atd., může zhotovit objednaný předmět dle přání zákazníka pouze v případě, že dostane přesně tentýž předmět na vzorek, jeho model či návrh. kresba , podle kterého by se snadno a přesně určily rozměry všech nakreslených čar, i když ty, které jsou odstraněny do hloubky obrázku, a proto jsou zobrazeny jako zkrácené. Deskriptivní geometrie učí zhotovovat takové výkresy, na kterých je předmět zobrazen téměř tak, jak jej vidíme, a navíc tak, že z nakreslených čar lze přesně určit rozměry a skutečný vzhled zobrazeného předmětu.

Historie vzniku deskriptivní geometrie

Gaspard Monge ve svém klasickém díle „Geometrie deskriptivní“ („Deskriptivní geometrie“), publikovaném v roce 1798, vyvinul obecnou geometrickou teorii , která umožňuje řešit různé stereometrické problémy na ploché desce obsahující ortogonální projekce trojrozměrného tělesa [1 ] .

Vytvořil abstraktní geometrický model reálného prostoru , podle kterého jsou každému bodu trojrozměrného prostoru přiřazeny dva jeho ortogonální průměty do vzájemně kolmých rovin. Postupem času se projekční výkres , sestavený podle pravidel deskriptivní geometrie, stává pracovním nástrojem pro inženýry , architekty a techniky všech zemí. [jeden]

Monge ve své teorii použil termíny "horizontální", "horizontální projekční přímka" a "horizontální projekční rovina", stejně jako "vertikální", "vertikální projekční čára" a "vertikální projekční rovina". Přítomnost ustálených termínů v odborném prostředí je podle Mongeho dostatečným důvodem k odmítnutí zavádění obecnější abstraktní terminologie do oběhu:

„Navíc od té doby většina specialistů používá projekční metodu. jsou zvyklí zabývat se polohou vodorovné roviny a směrem olovnice, obvykle předpokládají, že ze dvou promítacích rovin je jedna vodorovná a druhá svislá .

Terminologie

Základní principy

Představte si, že v bodě O (obr. 1) je oko osoby, která se dívá na předmět AB. Představme si rovinu MN mezi okem a objektem umístěnou kolmo k přímce, po které se oko dívá. Nakreslete rovné čáry z O k těm bodům předmětu, které charakterizují jeho tvar. Tyto čáry, nazývané projekční paprsky , budou protínat rovinu MN v různých bodech. Množina takových bodů ab vytvoří obrázek objektu AB , který slouží jako jeho obrázek. Proto se rovina MN nazývá obrazová rovina. Průsečík promítacího paprsku a roviny obrazu se nazývá středová projekce nebo perspektiva toho bodu předmětu, ze kterého daný projekční paprsek vychází. Tento způsob zobrazení předmětu se nazývá perspektiva. Pokud místo vedení promítacích paprsků z bodů předmětu do oka snížíme kolmice z bodů předmětu do roviny obrazu, pak výsledný obraz, reprezentovaný souhrnem základen těchto kolmic, bude zachovat určitou podobnost s perspektivou. Čím více je bod O vzdálený od objektu, tím více se promítací paprsky přiblíží k poloze vzájemně rovnoběžné a kolmé k rovině obrazu. Takový obraz se nazývá ortogonální projekce. Takže v ortogonální projekci je každý bod objektu znázorněn základnou kolmice, sníženou z ní do roviny obrázku. Získání skutečných rozměrů z daného výkresu a dalších konstrukcí je nesrovnatelně snazší s ortogonálním návrhem než s perspektivou .

Hlavní myšlenka deskriptivní geometrie je následující: pokud existují dvě ortogonální projekce objektu na dvou rovinách, které jsou umístěny různými způsoby vzhledem k objektu, pak pomocí relativně jednoduchých konstrukcí na těchto dvou obrázcích můžete získat skutečnou rozměry objektu, skutečný tvar jeho plochých čar a kolmé promítání do jakékoli dané třetí roviny. K tomu je samozřejmě potřeba vědět, v jakém měřítku byly dané dvě pravoúhlé průměty dány, tedy v jakém obecném ohledu byla celá kresba zmenšena či zvětšena proti skutečnosti. Obvykle nastavují pohled na předmět jeho ortogonálními průměty do takových dvou rovin, z nichž jedna je vodorovná a nazývá se půdorys a druhá je vertikální a nazývá se fasáda . Říká se jim také horizontální a vertikální projekční roviny. Ortogonální průmět objektu do roviny kolmé k půdorysu a fasádě se nazývá boční pohled. Velmi důležitá technika deskriptivní geometrie spočívá v tom, že rovina fasády, boční pohled a všechny ostatní roviny, na které je objekt promítán, jsou mentálně složeny do roviny půdorysu otáčením kolem přímky, podél které se půdorys protíná. se složeným letadlem. Tato technika se nazývá párování. Další konstrukce jsou již vytvořeny na takovém kombinovaném výkresu , jak je uvedeno níže. Vzhledem k tomu, že každý objekt je souborem bodů, je nejprve nutné seznámit se s vyobrazením plánu a fasády bodu na kombinovaném výkresu.

Nechť a (obr. 2) je daný bod; P plánová rovina; Q rovina fasády. Poklesem kolmice z a na půdorys dostaneme plán a' bodu a ; poklesem kolmice z a na fasádu dostaneme fasádu b bodu a . Kolmice aa' a ab se nazývají projektové čáry. Rovina baa' definovaná promítacími čarami se nazývá projekční rovina. Je kolmá jak k půdorysu, tak k pohledu, a je tedy kolmá k průsečíku rovin půdorysu a pohledu, který se nazývá společný řez. Nechť a o je bod, ve kterém se průmětná rovina protíná se společným řezem: a o a' a a o b budou kolmé na společný řez. Při daných rovinách půdorysu a průčelí je poloha bodu a zcela určena jeho půdorysem a' a průčelím b , protože a je v průsečíku kolmice zvednuté z a' k rovině půdorysu, s kolmice zvednutá z b na rovinu fasády. Chcete-li získat kombinovaný výkres, otočte rovinu Q fasády ve směru označeném šipkou poblíž společného řezu, dokud se neshoduje s rovinou plánu. V tomto případě bude bod b spadat do a" . Bod a" , což je kombinovaná fasáda bodu a , bude ležet na pokračování kolmice a'a o , snížené z plánu a' ke společnému řezu.

Kombinovaný výkres znázorněný na Obr. 3, kde MN je společný slot; a'  je plán a a"  je kombinovaná fasáda bodu a , který sám již není zobrazen.

Deskriptivní geometrie se zabývá pouze překrývajícími se výkresy; každý bod je dán plánem a kombinovanou fasádou; kresby, naplněné běžnými technikami (které máme na obr. 1, 2 a 5), ​​se uchylujeme pouze na počátku studia této vědy.

Promítání přímky

Přímka je definována dvěma body. Pokud tedy na přímce leží půdorys a průčelí (kombinace) dvou bodů a a b , pak přímka a'b' spojující půdorysy bodů a a b bude půdorysem přímky ab a přímky a"b" spojující průčelí bodů a a b , bude průčelí čáry ab . Obrázek 4 ukazuje přímku ab s půdorysem a fasádou.

Typické triky

Určení skutečné délky úsečky přímky dané půdorysem a projekcí

Použijme výkres, provedený obvyklým způsobem (obr. 5).

Nechť ab je daná úsečka, a'b' její půdorys a "b" její výška. Otočme rovinu a'abb' kolem přímky a'b ' a ohneme ji do polohy a'b'BA na rovině půdorysu. V tomto případě segment ab zaujme pozici AB. Tudíž:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Kolmost přímek a'a a b'b na a'b ' se nezměnila, proto pro určení její skutečné délky z daného půdorysu a fasády přímého segmentu v kombinovaném výkresu (obr. 6), potřebujete: obnovit z a' a b' do kolmice k půdorysu a'b' a dát na ně: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Úsečka AB se bude rovnat skutečné délce úsečky ab . V tomto příkladu vidíme, že na výkresu 5, provedeném obvyklým způsobem, je přímka ab zobrazena ve zkrácené formě podle toho, jak ji vidíme, a protože stupeň tohoto zkrácení není znám, není možné určit skutečná vzdálenost ab od výkresu 5. Mezitím na obrázku 6, ačkoli není znázorněna čára ab samotná , ale je uveden pouze její půdorys a'b' a fasáda a"b" , je z nich možné s úplnou přesností určit čáru, kterou představují.

Určení bočního pohledu na bod podle jeho půdorysu a fasády

Nechť a' je půdorys a a" průčelí daného bodu (obr. 7), přičemž rovina bočního pohledu protíná rovinu půdorysu podél přímky on a rovinu průčelí podél přímky om .

Když jsou roviny plánu a fasády kombinovány, om a on budou ležet na stejné přímce mn kolmé k MN , protože předpokládáme, že rovina bočního pohledu je kolmá k rovinám plánu a fasády. Předpokládá se, že ke kombinaci těchto tří rovin došlo následovně: nejprve byla rovina bočního pohledu spojena rotací o om s rovinou fasády; pak byly oba otočením o MN zarovnány s rovinou plánu, což je rovina výkresu. Není těžké vidět, že v tomto případě bude vzdálenost a"s bočního pohledu a"' bodu a od MN rovna a o a" a vzdálenost a'" od om bude rovna a o a'. Z toho dostaneme následující konstrukci: když a' a a" , nakreslíme kolmici mn na MN a pustíme kolmici a'q z a' k ní ; poloměrem oq opíšeme oblouk ze středu o , který protíná MN v bodě s , od s obnovíme kolmici k MN. Průsečík této kolmice s čárou vedenou fasádou a" rovnoběžnou s MN a bude bokorys a'" .

Definice bočního pohledu polygonu

Pokud je dán (obr. 8) půdorys a průčelí stran mnohoúhelníku a následně jeho vrcholů, pak při sestavování bočních pohledů na vrcholy získáme také boční pohled na mnohoúhelník. U mnoha bodů, se kterými se ve výkresu zabýváme, je vhodné je označit čísly.

Podobná technika pro konstrukci „bočního pohledu“ (přesněji profilová projekce nebo pohled zleva) z pohledu designéra neumožňuje úspěšné rozložení výkresu. K zajištění toho druhého je použití souřadnicových os nevhodné, protože omezuje rozvržení výkresu a nutí vás neustále udržovat stejné vzdálenosti mezi předním, horním a levým pohledem, což je nejčastěji nežádoucí. Pro sestavení třetího podle libovolných dvou typů originálu je vhodné uspořádat výkres, místo souřadnicových os pomohou „referenční základny“ vázané na obrázky (pohledy).

Promítání krabice

Obvykle se usadí do takové polohy rovin půdorysu a fasády, ve které se na ně jednoduchým nákresem promítne daný objekt a již podle tohoto plánu a fasády postaví průmět objektu na takovou rovinu. na kterém je vyobrazen v celé své složitosti. Původní půdorys a fasádu lze dokonce zvolit tak, aby na nich nebyly zkreslené některé rozměry objektu. To si ukážeme na následujícím příkladu obrázku rovnoběžnostěnu (obr. 9).

Představte si, že kvádr leží jednou ze svých hran v rovině půdorysu a jeho zadní a přední základny jsou rovnoběžné s rovinou fasády. Poté se tyto základy promítnou na fasádu, vzájemně se překrývají (zakrývají se), ale ve své skutečné podobě. Získá se projekce na plán, ve kterém je zachována hodnota hran rovnoběžných s plánem. Otočme v duchu rovnoběžnostěn kolem určité vertikály a vezměme ho trochu na stranu. Pak se jeho plán otočí o stejný úhel a bude odveden stranou. Abychom získali plán nové polohy, nakreslíme přímku 1'3', která svírá určitý úhel se směrem 1 3 předchozího plánu, a na této linii postavíme obrazec rovný předchozímu plánu pomocí metodami běžné geometrie. Vrcholy fasády nové polohy budou ležet na kolmicích snížených z vrcholů nového plánu do společného řezu. Navíc budou ležet na rovnoběžkách vedených od vrcholů bývalého průčelí ke společnému řezu, protože při zmíněném pohybu rovnoběžnostěnu zůstaly jeho vrcholy ve stejné výšce od roviny půdorysu. Takže průsečíky zmíněných kolmicí a rovnoběžek budou vrcholy nové fasády. Jejich spojením a zobrazením slabších rysů čáry zakryté rovnoběžnostěnem dostaneme takový jeho obraz, ve kterém je již vidět všech jeho 12 hran. Pokud jde o obraz rovnoběžnostěnu, stačí znázornit jeho okraje a pro obraz zakřiveného povrchu stačí znázornit jeho nejcharakterističtější linie, mezi nimiž má prvořadý význam viditelná kontura -  křivka, podél níž probíhají čáry. dotýkat se povrchu.

Průsečík dvou kruhových válců

Abychom objasnili způsob zobrazení zakřivených ploch, uvažujme o aplikaci H. geometrie na následující praktickou otázku. Je třeba spojit dvě trubky snýtované z kotlového plechu k sobě tak, aby jedna trubka, která je na druhou kolmá, se do ní zařízla o více než polovinu své tloušťky. Za tímto účelem by mělo být v jedné z trubek (řekněme ve větší) vytvořeno okno, což je samozřejmě pohodlnější vytvořit v plechu, ze kterého je velká trubka vyrobena, dokud ještě není nýtovaný. Je nutné určit tvar okna, které by mělo být vyříznuto v listu použitém k přípravě velké trubky.

Nechť (obr. 10) je rovina půdorysu kolmá k velkému potrubí a rovina fasády je rovnoběžná s osami obou trubek. Pak bude půdorysem velké roury kruh 036 a její fasáda bude reprezentována obdélníkem ABCD. Půdorys malého komína bude mnpq a fasáda abcd. Nechť HF je fasáda diametrální a planparalelní roviny malé trubky. Na nm , stejně jako na průměru, popisujeme oblouk nsm. Vezmeme nějakou tvořící přímku h5 malé roury a určíme průčelí toho bodu vzájemného průniku trubek, který leží na této tvořící přímce a jehož půdorys je tedy bod 1. Požadovaná průčelí bodu musí nejprve ležet na kolmici spuštěné na společný řez z bodu 1. Za druhé bude ležet z HF ve výšce HS rovné hs. Takže bod S je požadovaná fasáda. Zadáním dalších generátorů a vybudováním fasád bodů vzájemného křížení trubek se získá řada bodů, jejichž spojnicí bude fasáda průsečíku trubek. Nyní rozšíříme půlkruh 036. Tento úkol lze provést pouze přibližně. S dostatečnou aproximací se vyřeší, vezmeme-li délku půlkruhu jako součet strany vepsaného čtverce a strany pravidelného vepsaného trojúhelníku. Strana vepsaného čtverce bude tětiva 36 , strana trojúhelníku je tětiva 04 , pokud čísla označují rozdělení půlkruhu na 6 částí. Součet těchto tětiv se vynese na speciální výkres (obr. 11) a rozdělí se na 6 částí. Nechť PQ odpovídá zmíněné diametrální rovině malé trubky: měla by být nakreslena rovnoběžně s přímkou ​​012… ve vzdálenosti OP=AE. Obnovením z dělení 1 kolmice k přímce 012… a vyčleněním na ni od jejího průsečíku s PQ hodnotu h's'=hs=HS získáme bod s' požadované křivky, podél kterého má být okno vyříznuto. list MN . Získáním dalších bodů požadované křivky stejným způsobem určíme právě tuto křivku znázorněnou na výkrese (obr. 11).

Historie

Deskriptivní geometrii vyvinul G. Monge v letech 1760-1770, kdy byl jako učitel na inženýrské škole v Mézières pověřen nelehkým úkolem vypočítat reliéf opevnění.

Úzce souvisí s teorií stínů a s metodou axonometrických projekcí .

Úvod

Deskriptivní geometrie je jednou z disciplín , které tvoří základ inženýrského vzdělání .

Předmětem deskriptivní geometrie je představení a zdůvodnění metod zobrazování a konstrukce trojrozměrných objektů na dvourozměrné kreslicí rovině a metod řešení úloh geometrického (kresebného) charakteru s těmito obrazy.

Obrázky vytvořené podle pravidel deskriptivní geometrie umožňují:

Deskriptivní geometrie je teoretickým základem pro praktickou realizaci technických výkresů, zajišťující jejich výraznost a přesnost . A následně možnost adekvátní výroby podle výkresů reálných dílů a konstrukcí.

Délka úsečky

Na tuto rovinu se ve skutečné velikosti (tedy bez zkreslení) promítne úsečka umístěná v prostoru rovnoběžně s libovolnou promítací rovinou .

Délka úsečky přímky podle jejích průmětů je definována jako přepona pravoúhlého trojúhelníku , jejíž jedna větev je jedním z průmětů této úsečky a druhá větev je absolutní hodnotou algebraického rozdílu vzdáleností od konce druhého průmětu segmentu k ose průmětu .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge a jeho „Deskriptivní geometrie“ / Příloha ke knize Gasparda Monge „Deskriptivní geometrie“ / Překlad V. F. Gaze Pod generálním redakcí Kravets T. P. - 1. - Leningrad, Akademie věd SSSR, 1947. - S. 254. - 291 s.
  2. ↑ Gaspar Monge. Deskriptivní geometrie / Translated by Gaze V.F. Pod generální redakcí Kravets T.P. - 1. - Leningrad, Akademie věd SSSR, 1947. - S. 23. - 291 s.
  3. ↑ 1 2 3 Deskriptivní geometrie . CADInstructor (5. července 2018). Staženo 9. listopadu 2019. Archivováno z originálu 9. listopadu 2019.
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Kurz deskriptivní geometrie / Editoval Ivanov Yu. B. - 23. - Moskva: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 s.

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
V bibliografických katalozích