Tětiva (geometrie)
Tětiva (z řeckého χορδή - struna) v planimetrii - úsečka spojující dva body dané křivky (například kružnice , elipsa , parabola , hyperbola ).
Tětiva je na sečnici - přímce , která protíná křivku ve dvou nebo více bodech. Plochý útvar uzavřený mezi křivkou a její tětivou se nazývá segment a část křivky umístěná mezi dvěma krajními body tětivy se nazývá oblouk . V případě uzavřených křivek (např. kruh , elipsa ) tvoří tětiva dvojici oblouků se stejnými krajními body na opačných stranách tětivy. Tětiva procházející středem kruhu je jeho průměr . Průměr je nejdelší tětiva kruhu.
Vlastnosti tětiv kruhu
Tětiva a vzdálenost ke středu kruhu
- Pokud jsou vzdálenosti od středu kruhu k tětivám stejné, pak jsou tyto tětivy stejné.
- Pokud jsou tětivy stejné, pak jsou vzdálenosti od středu kruhu k těmto tětivám stejné.
- Pokud je tětiva větší, pak je vzdálenost od středu kruhu k této tětivě menší. Pokud je tětiva menší, pak je vzdálenost od středu kruhu k této tětivě větší.
- Pokud je vzdálenost od středu kruhu k tětivě menší, pak je tato tětiva větší. Pokud je vzdálenost od středu kruhu k tětivě větší, pak je tato tětiva menší.
- Největší možná tětiva je průměr.
- Nejmenší možná tětiva je bod.
- Pokud tětiva prochází středem kruhu, pak je tato tětiva průměrem.
- Pokud je vzdálenost od středu kruhu k tětivě rovna poloměru, pak je tato tětiva bod.
- Středem kružnice prochází kolmice tětivy.
Tětiva a průměr
- Jestliže průměr půlí tětivu bez průměru, pak je tento průměr kolmý k této tětivě.
- Pokud je průměr kolmý k tětivě, pak tento průměr tuto tětivu půlí.
- Pokud průměr půlí tětivu, která není průměrem, pak tento průměr půlí oblouky odečtené touto tětivou.
- Pokud průměr půlí oblouk, pak tento průměr půlí tětivu překrývající tento oblouk.
- Je-li průměr kolmý k tětivě, pak tento průměr půlí oblouky podepsané touto tětivou.
Tětiva a poloměr
- Pokud poloměr půlí tětivu, která nemá průměr, pak je tento poloměr kolmý k této tětivě.
- Pokud je poloměr kolmý k tětivě, pak tento poloměr tuto tětivu půlí.
- Pokud poloměr půlí tětivu, která není průměrem, pak tento poloměr půlí oblouk, který je pod touto tětivou.
- Pokud poloměr půlí oblouk, pak tento poloměr půlí tětivu překrývající tento oblouk.
- Je-li poloměr kolmý k tětivě, pak tento poloměr půlí oblouk, který je touto tětivou překryt.
- Pokud poloměr půlí oblouk, pak je tento poloměr kolmý k tětivě překrývající tento oblouk.
Tětiva a vepsaný úhel
- Pokud jsou vepsané úhly založeny na stejné tětivě a vrcholy těchto úhlů leží na stejné straně této tětivy, pak jsou tyto úhly stejné.
- Jestliže dvojice vepsaných úhlů spočívá na téže tětivě a vrcholy těchto úhlů leží na opačných stranách této tětivy, pak součet těchto úhlů je 180°.
- Leží-li vepsaný a středový úhel na stejné tětivě a vrcholy těchto úhlů leží na stejné straně této tětivy, pak je vepsaný úhel roven polovině středového úhlu.
- Pokud vepsaný úhel protíná průměr, pak tento úhel je pravý úhel.
Tětiva a středový úhel
- Pokud akordy překrývají stejné středové úhly , pak jsou tyto tětivy stejné.
- Pokud jsou tětivy stejné, pak tyto tětivy svírají stejné středové úhly.
- Velká tětiva odečítá větší středový úhel, menší tětiva menší středový úhel.
- Větší středový úhel se odečte větší tětivou, menší středový úhel se odečte menší tětivou.
Akord a oblouk
- Pokud akordy překrývají stejné oblouky, pak jsou tyto akordy stejné.
- Pokud jsou tětivy stejné, pak tyto tětivy tvoří stejné oblouky.
- Od oblouků menších než půlkruh se větší oblouk odečte od větší tětivy, menší oblouk se odečte od menší tětivy.
- Od oblouků menších než půlkruh, větší tětiva odečte větší oblouk, menší tětiva odečte menší oblouk.
- Od oblouků větších než půlkruh se menší oblouk odečte od větší tětivy, větší oblouk se odečte od menší tětivy.
- Od oblouků větších než půlkruh, větší tětiva subtencuje menší oblouk, menší tětiva odečítá větší oblouk.
- Tětiva, která přepíná půlkruh, je průměr.
- Pokud jsou tětivy rovnoběžné, pak jsou oblouky uzavřené mezi těmito tětivami (nezaměňovat s oblouky odečtenými tětivami) stejné.
Další vlastnosti
- Když se dvě tětivy AB a CD protnou v bodě E, získají se segmenty, jejichž součin délek pro jednu tětivu je roven odpovídajícímu součinu pro druhou tětivu (viz obr. 1 ) :.
- Pokud je tětiva rozdělena na polovinu libovolným bodem, pak je její délka nejmenší ve srovnání s délkami tětiv protažených tímto bodem.
Vlastnosti akordů elipsy
Základní vzorce
- Délka tětivy je , kde je poloměr kružnice, je středový úhel vycházející z dané tětivy ( obr. 2 ).
- Vzorec přímo odvozený z Pythagorovy věty ( obr. 3 ): , kde je délka tětivy, je poloměr kružnice, je vzdálenost od středu kružnice k tětivě.
- Pokud jsou známy například všechny čtyři délky úseků dvou protínajících se tětiv (viz obr. 1), pak poloměr kružnice je určen vzorcem:
