Jádro (algebra)

Jádro v algebře je charakteristika mapování , označovaná , odrážející rozdíl od injektivního mapování , obvykle soubor inverzních obrazů nějakého pevného (nula, identita, neutrální) prvek . Konkrétní definice se může lišit, ale pro injektivní mapování musí být množina vždy triviální, to znamená, že se musí skládat z jednoho prvku (obvykle neutrálního prvku z ). $\f:A\šipka doprava B$ $\ker \,f$ $F$ $E$ $F$ $\ker \,f$ $A$

Pokud množiny a mají nějakou strukturu (např. jsou to grupy nebo vektorové prostory ), pak musí mít také tuto strukturu, přičemž různé formulace hlavní věty o homomorfismu spojují obraz a faktorovou množinu . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Jádro lineárního mapování

Jádrem lineárního zobrazení je inverzní obraz nulového prvku prostoru : $f:\,V\to U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\kerf$ je podprostorem . Vždy obsahuje prvek null space . Podle základní věty o homomorfismu je obraz izomorfní s kvocientovým prostorem vzhledem k jádru : $PROTI$ $PROTI$ $F$ $PROTI$ $F$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

V souladu s tím se rozměr obrazu prostoru rovná rozdílu mezi rozměry prostoru a mapovacím jádrem, pokud je rozměr konečný: $PROTI$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

a inverzní obraz libovolného vektoru je definován až do přidání vektoru z jádra:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

Jakýkoli základ jádra se nazývá základním systémem řešení .

Teorie matic

Jakoukoli obdélníkovou matici velikosti , obsahující prvky pole (zejména reálná čísla ), lze považovat za lineární operátor pro násobení vektorů zleva maticí: $G$ $m\krát n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Výsledky teorie konečněrozměrných lineárních prostorů se tedy zcela přenášejí do práce s maticemi. Zejména soustava lineárních rovnic s neznámými $n$

\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.

lze považovat za problém nalezení předobrazu vektoru a problém řešení homogenního systému rovnic ( ) je redukován na nalezení jádra zobrazení . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $G$

Příklad

Nechť je lineární zobrazení a: $F$ $f:{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Pak je jeho jádrem vektorový podprostor:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \že jo\}.

Skupinový homomorfismus

Jestliže je homomorfismus mezi skupinami , pak tvoří normální podgrupu . $F$ $\kerf$ $A$

Kruhové homomorfismy

Jestliže je homomorfismus mezi kruhy , pak to tvoří ideál kruhu . $F$ $\kerf$ $A$

Viz také

kokernel

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - Moskva: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .