4-tensor

4-tenzory , čtyři -tenzory — třída matematických objektů používaných k popisu některých fyzikálních polí v relativistické fyzice , tenzor definovaný na čtyřrozměrném časoprostoru [1] .

Poznámka: V literatuře se 4-tenzory často nazývají jednoduše tenzory a dimenze a povaha vektorového prostoru (variety), na kterém jsou v tomto případě definovány, jsou specifikovány explicitně nebo jsou zřejmé z kontextu.

Obecně platí, že 4-tensor je objekt se sadou indexů:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m)),

navíc každý z indexů nabývá čtyř hodnot (obvykle od nuly do tří nebo od jedné do čtyř, to jest atd.). $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$

Při změně referenčního systému se komponenty tohoto objektu transformují následovně [2] :

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{ 1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{ 2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ ldots k_{m}}

kde je rotační matice ve čtyřrozměrném časoprostoru (matice Lorentzovy grupy ), a je její inverzní. $\alpha _{ij}$ ${\displaystyle \beta _{ij))$

Horní indexy se nazývají kontravariantní a dolní indexy se nazývají kovariantní. Celkový počet indexů určuje hodnost tenzoru. 4-vektor je 4-tensor první řady.

Obvykle jsou ve fyzice tenzory stejné povahy s různými počty kovariančních a kontravariančních indexů považovány za různé reprezentace stejného objektu. Snížení nebo zvýšení indexu se provádí pomocí metrického tenzoru , například pro 4-tenzor druhého stupně ${\hat {g))$

{\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i))

Vnější součinová algebra nám také umožňuje zavést související duální tenzory pro antisymetrické tenzory .

Výhody 4D notace

Rovnice relativity , elektrodynamika a mnoho moderních fundamentálních teorií, které je zahrnují, jsou obzvláště vhodné pro psaní pomocí 4-vektorů a 4-tenzorů. Hlavní výhodou tohoto zápisu je, že v tomto tvaru jsou rovnice automaticky Lorentzovy invariantní , to znamená, že se nemění při přechodu z jednoho inerciálního souřadnicového systému do druhého.

Příklady

4-tenzory v obecné teorii relativity

metrický tenzor (také hraje určitou technickou roli v nepřítomnosti gravitačních polí, to znamená, že se často používá mimo obecnou relativitu , ale v tomto případě má - obvykle - velmi zvláštní formu Lorentzovy metriky ).
tenzor zakřivení
Ricciho tenzor
tenzor energie-hybnosti (docela široce použitelný mimo obecnou teorii relativity ).

4-tensor elektromagnetického pole

Odpovídající 4-tensor také existuje k popisu elektromagnetického pole . Jedná se o 4-tensor druhé řady. Při jejím použití mají základní rovnice pro elektromagnetické pole: Maxwellova rovnice a pohybová rovnice nabité částice v poli obzvláště jednoduchý a elegantní tvar.

Definice z hlediska 4-potenciálu

4-tensor je definován z hlediska derivací 4 -potenciálu [3] :

F_{ik}={\frac {\částečné A_{k}}{\částečné x^{i}}}-{\frac {\částečné A_{i}}{\částečné x^{k}} }

. Definice z hlediska 3D vektorů

4-tensor je definován z hlediska obvyklých trojrozměrných kompozitních vektorů napětí takto:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right )

První forma je kovariantní tenzor a druhá forma je kontravariantní tenzor.

Lorentzova síla

Pohybová rovnice nabité částice v elektromagnetickém poli , napsaná ve 4-vektorové formě, má tvar

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

kde je 4-rychlost , q je elektrický náboj částice, c je rychlost světla a m je hmotnost . Pravá strana této rovnice je Lorentzova síla . ${\displaystyle u^{k))$

Viz také

Poznámky

↑ rotace referenčního systému , které zahrnují jak běžné rotace v trojrozměrném prostoru, tak přechody mezi referenčními systémy, které se vůči sobě pohybují různými rychlostmi ( Lorentzovy transformace ).
↑ Zde se, jak je v teorii relativity zvykem, vynechává znaménko součtu - opakování indexu dole a nahoře znamená součet; viz Einsteinova sčítací konvence .
↑ Vzorce na této stránce jsou napsány v systému SGSG

Externí odkazy

Kapitola 8 Relativistická dynamika 8.8. Vlastnosti tenzorů a momentu hybnosti částice (nepřístupný odkaz - historie ) . Staženo: 10. června 2009. (neurčitý) (nepřístupný odkaz)
PŘEDNÁŠKA 20 Čtyřrozměrné vektory a tenzory II. (nedostupný odkaz) . Vědecké a vzdělávací centrum Fyzikotechnického institutu pojmenované po A. F. Ioffe (22. února 2002). Získáno 10. června 2009. Archivováno z originálu 29. listopadu 2004. (neurčitý)