Alexandrova geometrie

Alexandrova geometrie je zvláštním vývojem axiomatického přístupu v moderní geometrii. Cílem je nahradit určitou rovnost v axiomatice euklidovského prostoru nerovností.

Historie

První syntetickou definici omezení horního a dolního zakřivení podal Abraham Wald ve své bakalářské práci napsané pod vedením Carla Mengera . [1] Toto dílo bylo zapomenuto až do 80. let.

Podobné definice byly znovu objeveny Aleksandrem Danilovičem Aleksandrovem . [2] [3] Podal také první významné aplikace této teorie, zejména na problémy vkládání a ohýbání povrchů.

Úzce příbuzná definice metrických prostorů nonpositive křivosti byla dána téměř současně Herbert Busemann . [čtyři]

Výzkum Alexandrova a jeho studentů probíhal ve dvou hlavních směrech:

Prostory libovolné dimenze s níže ohraničeným zakřivením se začaly studovat až na konci 90. let. Impulsem pro tyto studie byl Gromovův teorém kompaktnosti . Klíčové dílo napsali Jurij Dmitrievič Burago , Michail Leonidovič Gromov a Grigorij Jakovlevič Perelman . [5]

Základní definice

Srovnávací trojúhelník pro trojici bodů v metrickém prostoru je trojúhelník v euklidovské rovině se stejnými délkami stran; to je

Úhel ve vrcholu ve srovnávacím trojúhelníku se nazývá srovnávací úhel trojice a značí se .

V Aleksandrovově geometrii jsou úplné metrické prostory s vnitřní metrikou uvažovány s jednou z následujících dvou nerovností pro 6 vzdáleností mezi 4 libovolnými body.

První nerovnost je následující: pro libovolné 4 body zvažte dvojici srovnávacích trojúhelníků a poté pro libovolný bod nerovnost

V tomto případě se říká, že prostor uspokojí -nerovnost. Úplný prostor splňující -nerovnost se nazývá Hadamardův prostor . V případě lokálního naplnění této nerovnosti se říká, že prostor má nepozitivní zakřivení v Alexandrovově smyslu .

Druhá nerovnost je následující: pro libovolné 4 body , nerovnost

V tomto případě se říká, že prostor uspokojuje -nerovnost, nebo se říká, že prostor má nezáporné zakřivení v Alexandrovově smyslu .

Obecná omezení zakřivení

Místo euklidovské roviny můžete vzít prostor  - modelovou rovinu křivosti . To znamená

Poté se výše uvedené definice změní na definice CAT[k] a CBB [k] prostorů a prostorů se zakřivením a v Alexandrovově smyslu .

.

Základní věty

Poznámky

  1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen  (německy)  // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
  2. Aleksandrov A. D. Vnitřní geometrie konvexních ploch. - Gostekhizdat, 1948.
  3. Alexandrov A. D. Jedna věta o trojúhelníkech v metrickém prostoru a některé její aplikace  // Tr. MIAN SSSR. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 .
  4. Busemann, Herbert Prostory s nepozitivním zakřivením. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
  5. Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Aleksandrovovy prostory se zakřiveními ohraničenými níže  // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , č. 2 (284) . - S. 3-51 .

Literatura