Klouzavý průměr

Klouzavý průměr , klouzavý průměr ( angl. moving average , MA ) je obecný název pro rodinu funkcí , jejichž hodnoty se v každém definičním bodě rovnají nějaké průměrné hodnotě původní funkce za předchozí období.

Klouzavé průměry se běžně používají s daty časových řad k vyhlazení krátkodobých výkyvů a zvýraznění hlavních trendů nebo cyklů [1] [2] .

Matematicky je klouzavý průměr typem konvoluce .

Aplikace

Používají se klouzavé průměry:

Ve statistice a ekonomii pro vyhlazování číselných řad (především časových řad ). Například pro odhad HDP , míry zaměstnanosti nebo jiných makroekonomických ukazatelů .
Ve strojírenství , zpracování signálů, systémová analýza. Viz klouzavý průměr (filtr) .
V technické analýze , jako samostatný technický indikátor nebo jako součást jiných nástrojů, viz klouzavý průměr (indikátor) .

Etymologie

Vzhledem k tomu, že při výpočtu klouzavého průměru se hodnota funkce počítá pokaždé znovu [2] , přičemž se bere v úvahu konečná signifikantní [3] množina předchozích hodnot, klouzavý průměr se „pohybuje“ (pohybuje), jako by „klouzal“. “ podél časové řady.

Typy klouzavých průměrů

Obecný případ

Obecně se vážené klouzavé průměry počítají pomocí vzorce [2] :

{\textit {WWMA}}_{t}=\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}\cdot p_{{ti}},

(WWMA 1) kde je hodnota váženého klouzavého průměru v bodě ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— počet hodnot původní funkce pro výpočet klouzavého průměru;

w_{{ti}}

je normalizovaná váha (váhový koeficient) té hodnoty původní funkce;

ti

p_{{ti}}

je hodnota původní funkce v časovém okamžiku, vzdálená od aktuální v intervalech.

i

Normalizace váhových koeficientů znamená, že [2] :

\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}=1.

Výše uvedený vzorec s libovolnými hodnotami váhových koeficientů lze přepsat jako:

{\textit {WWMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}},

(WWMA2) kde je hodnota váženého klouzavého průměru v bodě ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— počet hodnot původní funkce pro výpočet klouzavého průměru;

W_{{ti}}

je váha (váhový koeficient) tý hodnoty původní funkce;

ti

p_{{ti}}

je hodnota původní funkce v časovém okamžiku, vzdálená od aktuální v intervalech.

i

Hmotnostní koeficienty ve vzorcích (WWMA 1) a (WWMA 2) spolu souvisí:

w_{{ti}}={\frac {W_{{ti}}}{\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}}.

Často se jako váha používá buď 1 (pro jednoduchý klouzavý průměr - SMA ), nebo formální řada, například aritmetická progrese ( WMA ) nebo exponenciální funkce ( EMA ). Ale hodnoty souvisejících časových řad mohou také fungovat jako váhový faktor. Například pro vážení směnných cen objemy transakcí ( VMA ) by cena transakce pro nástroj měla být považována za hodnotu a objem v okamžiku : $p_{{ti}}$ $W_{{ti}}=V_{{ti}}$ $ti$

{\textit {VMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}}}.

Jednoduchý klouzavý průměr

Jednoduchý klouzavý průměr neboli aritmetický klouzavý průměr ( angl. jednoduchý klouzavý průměr , angl. SMA ) se numericky rovná aritmetickému průměru hodnot původní funkce za zadané období [1] a vypočítá se podle vzorce [2 ] :

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}p_{ti}=

={\frac {p_{t}+p_{t-1}+\cdots +p_{ti}+\cdots +p_{t-n+2}+p_{t-n+1}}{ n}},

kde je hodnota jednoduchého klouzavého průměru v bodě ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

n

- počet hodnot původní funkce pro výpočet klouzavého průměru (interval vyhlazování [1] ), čím širší interval vyhlazování, tím hladší graf funkce [1] ;

p_{{ti}}

je hodnota původní funkce v bodě .

ti

Výsledná hodnota prostého klouzavého průměru se vztahuje ke středu zvoleného intervalu [1] , tradičně se však vztahuje k poslednímu bodu intervalu [2] .

Z jeho předchozí hodnoty lze získat jednoduchý klouzavý průměr pomocí následujícího rekurzivního vzorce [2] :

{\textit {SMA}}_{t}={\textit {SMA}}_{{t-1}}-{\frac {p_{{tn}}}{n}}+{\frac {p_{ {t}}}{n}},

kde - hodnota prostého klouzavého průměru v bodě , - předchozí hodnota prostého klouzavého průměru;

{\textit {SMA}}_{t}

t

{\textit {SMA}}_{{t-1}}

p_{{tn}}

- hodnota původní funkce v daném bodě (v případě časové řady „nejstarší“ hodnota původní funkce použitá pro výpočet předchozího klouzavého průměru);

tn

p_{{t}}

- hodnota zkoumané funkce v bodě (v případě časové řady je aktuální hodnota poslední hodnotou).

t

Tento vzorec je vhodné použít, abyste se vyhnuli pravidelnému sčítání všech hodnot.

Například jednoduchý klouzavý průměr pro časovou řadu s 10 obdobími se vypočítá takto:

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {p_{t}+p_{t-1}+p_{t-2}+p_{t-3}+p_{t-4 }+p_{t-5}+p_{t-6}+p_{t-7}+p_{t-8}+p_{t-9}}{10}}=

={\textit {SMA}}_{t-1}-{\frac {p_{t-10}}{10}}+{\frac {p_{t}}{10}},

kde je hodnota jednoduchého klouzavého průměru v bodě ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

p_{{ti}}

je hodnota původní funkce v časovém okamžiku, vzdálená od aktuální v intervalech.

i

Jednoduchý klouzavý průměr má následující nevýhody [2] :

Váhový faktor rovnosti 1.
Dvojitá reakce na každou hodnotu (viz rekurzivní vzorec): v okamžiku vstupu do okna výpočtu a v okamžiku výstupu z něj.

Vážené klouzavé průměry

Obecná ustanovení

Někdy je při konstrukci klouzavého průměru vhodné některé hodnoty původní funkce zvýraznit. Pokud se například předpokládá, že v rámci vyhlazovacího intervalu existuje nelineární trend [1] , nebo v případě časových řad mohou být nejnovější – novější – data významnější než předchozí.

Stává se, že původní funkce je vícerozměrná, to znamená, že je reprezentována několika spojenými řadami najednou. V tomto případě může být nutné zkombinovat všechna přijatá data ve funkci konečného klouzavého průměru. Například časové řady směnných cen jsou obvykle reprezentovány pro každý časový okamžik alespoň dvěma hodnotami - cenou transakce a jejím objemem. K výpočtu objemově váženého klouzavého průměru ceny je zapotřebí nástroj.

V těchto a podobných případech se používají vážené klouzavé průměry.

Vážený klouzavý průměr

Vážený klouzavý průměr ( angl. weighted moving average - eng. WMA ), přesněji lineárně vážený klouzavý průměr - klouzavý průměr, při výpočtu kterého se váha každého člena původní funkce, počínaje od nejmenšího, rovná odpovídající člen aritmetické progrese . To znamená, že při výpočtu WMA pro časovou řadu považujeme poslední hodnoty původní funkce za významnější než ty předchozí a funkce významnosti lineárně klesá.

Například pro aritmetickou progresi s počáteční hodnotou a krokem rovným 1 bude mít vzorec pro výpočet klouzavého průměru tvar [2] :

{\textit {WMA}}_{t}={\frac {n\cdot p_{t}+(n-1)\cdot p_{t-1}+\cdots +(ni)\cdot p_ {ti}+\cdots +2\cdots p_{t-n+2}+1\cdot p_{t-n+1}}{n+(n-1)+\cdots +(ni)+\cdots +2 +1}}=

={\frac {2}{n\cdot (n+1)}}\sum _{i=0}^{n-1}(ni)\cdot p_{ti},

kde je hodnota váženého klouzavého průměru v bodě ;

{\textit {WMA}}_{t}

t

n

— počet hodnot původní funkce pro výpočet klouzavého průměru, : : — hodnota původní funkce v časovém intervalu vzdáleném od aktuální po intervalech.

p_{{ti}}

i

V tomto případě je jmenovatel funkce v tomto případě roven trojúhelníkovému číslu - součtu členů aritmetické posloupnosti s počátečním členem a krokem rovným 1:

{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}.

Exponenciálně vážený klouzavý průměr

Exponenciálně vážený klouzavý průměr , exponenciálně vážený klouzavý průměr ( eng. exponenciálně vážený klouzavý průměr - eng. EWMA , eng. exponenciální klouzavý průměr - eng. EMA ) - typ váženého klouzavého průměru, jehož váhy klesají exponenciálně a nikdy nejsou rovné nule [3] . Je definováno následujícím vzorcem [1] [2] [4] [5] [6] :

{\textit {EMA}}_{t}=\alpha \cdot p_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},

kde - hodnota exponenciálního klouzavého průměru v daném bodě (poslední hodnota v případě časové řady);

{\textit {EMA}}_{t}

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}

- hodnota exponenciálního klouzavého průměru v daném bodě (předchozí hodnota v případě časové řady);

t-1

p_{t}

- hodnota původní funkce v okamžiku času (poslední hodnota v případě časové řady);

t

\alpha

- (vyhlazovací konstanta z anglického smoothing konstanta ) koeficient charakterizující rychlost snižování hmotnosti, nabývá hodnoty od 0 do 1, čím menší je jeho hodnota, tím větší je vliv předchozích hodnot na aktuální hodnotu průměru.

První hodnota exponenciálního klouzavého průměru se obvykle rovná první hodnotě původní funkce:

{\textit {EMA}}_{0}=p_{0}.

Koeficient lze zvolit libovolně v rozsahu od 0 do 1. Lze jej například vyjádřit průměrným oknem: $\ \alpha$

\ \alpha ={\frac {2}{n+1}}.

Exponenciální klouzavý průměr libovolného řádu

V obvyklém exponenciálním klouzavém průměru jsou hodnoty původní funkce vyhlazeny, lze však vyhlazovat i hodnoty výsledné funkce [2] . Někteří autoři proto definují pojem exponenciálního klouzavého průměru libovolného řádu [2] , které se počítají podle vzorce:

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)}}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}^{{(n-1)))+(1-\ alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n))),

kde - hodnota exponenciálního klouzavého průměru tého řádu v bodě (poslední hodnota v případě časové řady);

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)))

n

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n)))

- hodnota exponenciálního klouzavého průměru t. řádu v bodě (předchozí hodnota v případě časové řady);

n

t-1

{EMA}_{t}^{{(n-1)}}

- hodnota exponenciálního klouzavého průměru tého řádu v bodě (poslední hodnota v případě časové řady);

(n-1)

t

\alpha

je vyhlazovací konstanta.

Exponenciálně vážené klouzavé průměry druhého a třetího řádu se někdy ]označují jako : ${\textit {DMA}}$ ${\textit {TMA}}$

{\textit {DMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {DMA}}_{{t-1} },

{\textit {TMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {DMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {TMA}}_{{t-1} }.

Upravený klouzavý průměr

Modifikovaný klouzavý průměr (z anglického Modifikovaný klouzavý průměr - anglicky MMA ; někdy nazývaný anglicky running moving average - anglicky RMA a anglicky smoothed moving average ) je definován jako:

{\text{MMA}}_{t}={\frac {p_{t}+(n-1)\cdot {\text{MMA}}_{{t-1}}}{n}},

kde - hodnota upraveného klouzavého průměru v daném bodě (poslední hodnota v případě časové řady);

{\textit {MMA}}_{t}

t

{\textit {MMA}}_{{t-1}}

- hodnota upraveného klouzavého průměru v daném bodě (předchozí hodnota v případě časové řady);

t-1

n

— počet hodnot původní funkce pro výpočet klouzavého průměru (interval vyhlazování).

Je snadné vidět, že upravený klouzavý průměr je speciální případ exponenciálního klouzavého průměru, pro který je vyhlazovací konstanta rovna převrácené hodnotě vyhlazovacího intervalu:

\alpha ={\frac {1}{n}}.

Související funkce

Posuvníky založené na jiných funkcích průměrování

Analogicky s klouzavými průměry založenými na aritmetickém průměru můžete použít další průměrovací funkce ( mocninný průměr : odmocnina , harmonický průměr atd.; geometrický průměr ; medián atd.) a jejich vážené protějšky. Konkrétní výběr závisí na charakteru původní zkoumané funkce.

Jednoduchý pohyblivý medián

Jednoduchý pohyblivý medián ( angl. simple moving median - angl. SMM ) je funkce, jejíž hodnota v každém bodě definice je číselně rovna mediánu hodnot původní funkce za zadané období:

{\textit {SMM}}_{t}={\text{Median}}(p_{t},p_{{t-1}},\ldots ,p_{{t-n+1}}),

kde je hodnota prostého pohyblivého mediánu v bodě ;

{\textit {SMM}}_{t}

t

n

— počet hodnot původní funkce pro výpočet pohyblivého mediánu (interval vyhlazování);

p_{{ti}}

je hodnota původní funkce v bodě .

ti

Dynamické klouzavé průměry

V 90. letech byla navržena řada klouzavých průměrů s dynamicky se měnící šířkou okna (nebo faktorem vyhlazování), viz např . Kaufmanův Adaptivní klouzavý průměr .

Kumulativní klouzavý průměr

Kumulativní klouzavý průměr se numericky rovná aritmetickému průměru hodnot původní funkce za celé období pozorování:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {1}{t}}\sum _{{i=1}}^{{t}}p_{i}={\frac {p_{t }+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}}}{t}},

kde je aktuálně kumulativní klouzavý průměr ;

{\textit {CA}}_{t}

t

t

- počet intervalů dostupných pro výpočet;

p_{i}

je hodnota původní funkce v bodě

i.

Ve skutečných výpočtech, když je známa předchozí hodnota kumulativního klouzavého průměru, platí také následující vzorce:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {p_{t}+(t-1)\cdot {\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}}={ \textit {CA}}_{{t-1}}+{\frac {p_{t}-{\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}},

kde je aktuálně kumulativní klouzavý průměr ;

{\textit {CA}}_{t}

t

{\textit {CA}}_{{t-1}}

- kumulativní klouzavý průměr v daném okamžiku (předchozí hodnota, v případě časové řady);

t-1

p_{t}

— hodnota původní funkce v okamžiku času (v případě časové řady poslední hodnota);

t

t

- počet intervalů dostupných pro výpočet a

{\textit {CA}}_{0}=0.

Kumulativní částka

Kumulativní klouzavý průměr by se neměl zaměňovat s kumulativním součtem , který se vypočítá sečtením všech hodnot řady v průběžném součtu:

{\textit {Kumulativní}}_{t}=p_{t}+{\textit {Kumulativní}}_{{t-1}}=\sum _{{i=1}}^{{t}}p_ {i}=p_{t}+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}},

kde jsou aktuální a předchozí hodnoty kumulativního součtu;

{\textit {Kumulativní}}_{t},{\textit {Kumulativní}}_{{t-1}}

p_{i}

je aktuální hodnota původní série

i.

Viz také

Autoregresivní model : Autoregresivní model - klouzavý průměr , Model klouzavého průměru
Okno (funkce váhy)

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Greshilov A. A., Stakun V. A., Stakun A. A. Matematické metody pro konstrukci prognóz. - M .: Rozhlas a komunikace, 1997. - 112 s. — ISBN 5-256-01352-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Bulashev S. V. Statistika pro obchodníky. — M.: Společnost Sputnik+, 2003. — 245 s.
↑ 1 2 Při výpočtu exponenciálně váženého klouzavého průměru se teoreticky berou v úvahu všechny hodnoty časové řady, v praxi je však od určitého bodu příspěvek počátečních hodnot nižší než chyba výpočtu. Proto je lze zanedbat a množinu předchozích hodnot považovat za konečnou.
↑ Některé zdroje používají „obrácené“ znázornění tohoto vzorce: ${\textit {EMA}}_{t}=(1-\alpha )\cdot p_{t}+\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},$ To nemění matematický význam, nicméně při používání a analýze je třeba pečlivě zvážit kontextovou definici.
↑ Single Exponencial Smoothing Archived 10. března 2011 na Wayback Machine na webu US National Institute of Standards and Technology .
↑ Kontrolní diagramy EWMA byly archivovány 4. března 2011 ve Wayback Machine na webu amerického Národního institutu pro standardy a technologie .

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánovou metodou
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra