Alexandrova geometrie

Alexandrova geometrie je zvláštním vývojem axiomatického přístupu v moderní geometrii. Cílem je nahradit určitou rovnost v axiomatice euklidovského prostoru nerovností.

Historie

První syntetickou definici omezení horního a dolního zakřivení podal Abraham Wald ve své bakalářské práci napsané pod vedením Carla Mengera . [1] Toto dílo bylo zapomenuto až do 80. let.

Podobné definice byly znovu objeveny Aleksandrem Danilovičem Aleksandrovem . [2] [3] Podal také první významné aplikace této teorie, zejména na problémy vkládání a ohýbání povrchů.

Úzce příbuzná definice metrických prostorů nonpositive křivosti byla dána téměř současně Herbert Busemann . [čtyři]

Výzkum Alexandrova a jeho studentů probíhal ve dvou hlavních směrech:

Dvourozměrné prostory se zakřivením omezeným zdola;
Prostory libovolné dimenze se zakřivením ohraničeným shora.
- Hyperbolita v Gromovově smyslu je rozšířením této teorie o diskrétní prostory. To má významné aplikace v teorii grup .

Prostory libovolné dimenze s níže ohraničeným zakřivením se začaly studovat až na konci 90. let. Impulsem pro tyto studie byl Gromovův teorém kompaktnosti . Klíčové dílo napsali Jurij Dmitrievič Burago , Michail Leonidovič Gromov a Grigorij Jakovlevič Perelman . [5]

Základní definice

Srovnávací trojúhelník pro trojici bodů v metrickém prostoru je trojúhelník v euklidovské rovině se stejnými délkami stran; to je $xyz$ $X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Úhel ve vrcholu ve srovnávacím trojúhelníku se nazývá srovnávací úhel trojice a značí se . ${\tilda x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measureangle }}(x\,_{z}^{y})$

V Aleksandrovově geometrii jsou úplné metrické prostory s vnitřní metrikou uvažovány s jednou z následujících dvou nerovností pro 6 vzdáleností mezi 4 libovolnými body. $X$

První nerovnost je následující: pro libovolné 4 body zvažte dvojici srovnávacích trojúhelníků a poté pro libovolný bod nerovnost $x,y,p,q\in X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

V tomto případě se říká, že prostor uspokojí -nerovnost. Úplný prostor splňující -nerovnost se nazývá Hadamardův prostor . V případě lokálního naplnění této nerovnosti se říká, že prostor má nepozitivní zakřivení v Alexandrovově smyslu . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

Druhá nerovnost je následující: pro libovolné 4 body , nerovnost $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measureangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilda {\measureangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilda {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

V tomto případě se říká, že prostor uspokojuje -nerovnost, nebo se říká, že prostor má nezáporné zakřivení v Alexandrovově smyslu . $\mathrm {CBB} [0]$

Obecná omezení zakřivení

Místo euklidovské roviny můžete vzít prostor - modelovou rovinu křivosti . To znamená $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ je euklidovská rovina ,
$\mathbb {M} [k]$ když existuje koule o poloměru , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ v je rovina zakřivení Lobačevského . $k<0$ $k$

Poté se výše uvedené definice změní na definice CAT[k] a CBB [k] prostorů a prostorů se zakřivením a v Alexandrovově smyslu . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ $(xyz)$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Základní věty

Alexandrovovo lemma je důležitým technickým prohlášením o srovnávacích úhlech

Reshetnyakova věta o lepení — umožňuje konstrukci CAT(k) prostorů lepením CAT(k) prostorů přes konvexní množiny.

Reshetnyak majorizační teorém poskytuje vhodnou ekvivalentní definici CAT(k) prostorů.

Globalizační teorém pro CAT(k) prostory je zobecněním Hadamard-Cartanova teorému .

Globalizační teorém pro CBB(k) prostory je zobecněním Toponogovovy srovnávací věty .

Poznámky

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (německy) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Vnitřní geometrie konvexních ploch. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. Jedna věta o trojúhelníkech v metrickém prostoru a některé její aplikace // Tr. MIAN SSSR. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Ruština)
↑ Busemann, Herbert Prostory s nepozitivním zakřivením. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Aleksandrovovy prostory se zakřiveními ohraničenými níže // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , č. 2 (284) . - S. 3-51 . (Ruština)

Literatura

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Kurz metrické geometrie. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Přednáška 5, Alexandrovova geometrie
Sergej Ivanov . Metrická geometrie a Alexandrovovy prostory . Lectorium ( 10.02.11 ). (neurčitý)
Sergej Ivanov . Geometrie Alexandrovových prostorů . Lectorium (04.07.17). (neurčitý)
Anton Petrunin, Alexander video přednášky geometrie
Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Pozvánka do Alexandrovovy geometrie: CAT[0] prostory, arΧiv : 1701.03483 [matematické DG].