Asymptotická analýza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. března 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Asymptotická analýza je metoda pro popis omezujícího chování funkcí.

Například ve funkci , když se blíží k nekonečnu, se člen stává zanedbatelným ve srovnání s , takže se o funkci říká, že je „asymptoticky ekvivalentní jako “, což se často také píše jako . Příkladem důležitého asymptotického výsledku je věta o prvočísle . Nechť označuje distribuční funkci prvočísel , to znamená, že se rovná počtu prvočísel , která jsou menší nebo rovna , pak lze větu formulovat jako . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\to\infty$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $X$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x))$

Asymptotická rovnost

Dovolit a být nějaké funkce. Potom je binární relace definována tak, že $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

tehdy a jen tehdy, když [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Funkce a jsou také nazývány asymptoticky ekvivalentní , protože se jedná o vztah ekvivalence pro funkce nad . Oblastí a může být jakákoliv množina, ve které má koncept limity smysl: reálná čísla , komplexní čísla , přirozená čísla atd. Stejný zápis se používá i pro další omezení limity na , jako je . Konkrétní limit se obvykle neuvádí, pokud je z kontextu jasný. $F$ $G$ $\sim$ $X$ $F$ $G$ $X$ $x\to 0$

Výše uvedená definice je v literatuře běžná, ale ztrácí svůj význam, pokud nabývá nekonečně mnohokrát. Někteří autoři proto používají alternativní definici z hlediska O-notace : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Tato definice je ekvivalentní té, která je uvedena výše, pokud se liší od nuly v nějakém okolí mezního bodu [2] [3] . $g(x)$

Vlastnosti

Jestliže a , pak za určitých přirozených omezení platí následující: $f\sim g$ $a\sim b$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , pro jakýkoli skutečný $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Tyto vlastnosti umožňují volně zaměňovat asymptoticky ekvivalentní funkce v některých algebraických výrazech.

Příklady asymptotických vzorců

Stirlingův vzorec pro faktoriály

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Počet způsobů , jak rozdělit přirozené číslo na neuspořádaný součet přirozených čísel $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Airy funkce - řešení diferenciální rovnice $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Hankelovy funkce

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Asymptotická expanze

Asymptotický rozvoj funkce je vyjádřením funkce ve formě řady , jejíž dílčí součty nemusí konvergovat , ale jakýkoli dílčí součet dává správný asymptotický odhad . Každý další prvek asymptotického rozšíření tedy poskytuje o něco přesnější popis řádu růstu . Jinými slovy, jestliže je asymptotický rozvoj , pak , v obecném případě pro jakýkoli . V souladu s definicí to znamená, že , tj. roste asymptoticky mnohem pomaleji $f(x)$ $F$ $F$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots$ $F$ $f\sim g_{1},$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Pokud asymptotický rozvoj nekonverguje, pak pro jakýkoli argument existuje nějaký parciální součet, který funkci v tomto bodě nejlépe aproximuje, a další přidávání členů k němu pouze sníží přesnost. S přibližováním se k limitnímu bodu se počet členů v takovém optimálním součtu zpravidla zvyšuje. $X$

Příklady asymptotických expanzí

funkce gama

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Integrální exponent

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\to \infty )

Chybová funkce

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

kde ( 2n − 1)!! je dvojitý faktoriál .

Aplikace

Asymptotická analýza se používá:

V aplikované matematice budovat numerické metody pro řešení rovnic.
V matematické statistice a teorii pravděpodobnosti určovat limitující vlastnosti náhodných veličin a statistické odhady .
V informatice v analýze algoritmů a jejich běhu .
Ve statistické fyzice při analýze chování fyzikálních systémů .
Při analýze katastrof při určování příčin katastrofy modelováním mnoha katastrof na stejném místě.

Asymptotická analýza je klíčovým nástrojem pro studium diferenciálních rovnic , které vznikají při matematickém modelování jevů reálného světa [4] . Aplikace asymptotické analýzy je zpravidla zaměřena na studium závislosti modelu na nějakém bezrozměrném parametru , který je považován za zanedbatelný v rozsahu řešeného problému.

Asymptotické expanze zpravidla vznikají při přibližných výpočtech některých integrálů ( Laplaceova metoda, metoda sedlových bodů ) nebo pravděpodobnostních rozdělení ( Edgeworthova řada ). Příkladem divergentní asymptotické expanze jsou Feynmanovy grafy v kvantové teorii pole .

Viz také

Poznámky

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Asymptotická rovnost , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Archived 22. července 2021 ve Wayback Machine , Cambridge University Press

Literatura

Fedoryuk M. V. Asymptotika: Integrály a řady. — M .: Nauka , 1987. — 544 s. — (Referenční matematická knihovna).
Olver, F. Úvod do asymptotických metod a speciálních funkcí. — M .: Nauka , 1978. — 386 s.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotické metody v analýze , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Aplikovaná asymptotická analýza , Americká matematická společnost , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotická analýza , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotika a Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , >

Odkazy

Asymptotická analýza — domovská stránka časopisu, který vydává IOS Press
Článek o analýze časových řad pomocí asymptotického rozdělení