Přidružená rodina

Přidružená rodina (nebo Bonnetova rodina ) minimálního povrchu je jednoparametrová rodina minimálních povrchů , které sdílejí stejná Weierstrassova data [1] . Tedy pokud má povrch reprezentaci

x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k} ,\qquad k=1,2,3

rodina je popsána vzorcem

x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\, dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]

Když se povrch nazývá konjugovaný povrch [2] . $\theta =\pi /2$ $\theta=0$

Transformaci lze chápat jako lokální rotaci hlavních směrů zakřivení . Povrchové normály pevného bodu zůstanou nezměněny, když . Samotný bod se pohybuje po elipse . $\zeta$ $\theta$

Některé příklady přidružených rodin povrchů jsou rodiny katenoidů a helikoidů , rodiny Schwartz P , Schwartz D a gyroidů a rodiny prvního a druhého Scherkova povrchu . Enneperův povrch je konjugovaný sám se sebou - zůstává nezměněn, když . $\theta$

Sdružené plochy mají následující vlastnost: jakákoli přímka na ploše se odráží do rovinné geodetické linie na sdružené ploše a naopak. Je-li kus plochy ohraničen přímkou, pak je sdružený kus ohraničen rovnou linií symetrie. To je užitečné při konstrukci minimálních ploch přechodem do duálního prostoru: omezení rovinami je ekvivalentní omezení polygonem [3] .

Existují analogie k přidruženým rodinám minimálních ploch v prostorech vyšších dimenzí a pro manifoldy [4] .

Poznámky

↑ Weierstrass data lze číst v knize Karcher G., Simon L., Fujimoto H., Hildebrandt S., Hoffman D. Weierstrass data // Minimal Surfaces / Ed. Osserman R .. - M . : FIZMATLIT, 2003. - S. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6 .
↑ Matthias Weber, Klasické minimální povrchy v euklidovském prostoru podle příkladů, v Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Kalifornie, 25. června–27. července 2001. Soc American Mathematic ., 2005 [1] Archivováno 12. července 2019 na Wayback Machine
↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Konstrukce trojitých periodických minimálních povrchů", Phil. Trans. R. Soc. Londýn. A 16. září 1996 sv. 354 č.p. 1715 2077–2104 [2] Archivováno 21. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3] Archivováno 5. března 2016 na Wayback Machine

Literatura

Minimální plochy
Přidružená rodina Bura katalánská katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noidní Richmond Riemann Pylonové sedlo Sherka Třikrát periodicky Gyroid Lidinoidní Neovius Schwartz