Nekonečně malý a nekonečně velký

Nekonečně malá – numerická funkce nebo posloupnost inklinující k ( jejíž limita je rovna) nule .

Nekonečně velká - číselná funkce nebo posloupnost směřující k (jejíž limitou je) nekonečno určitého znaménka.

V nestandardní analýze jsou infinitesimály a infinitesimály definovány nikoli jako sekvence nebo proměnné, ale jako zvláštní druh čísla.

Počet infinitezimálních a velkých čísel

Infinitezimální počet - výpočty prováděné s nekonečně malými veličinami, ve kterých je odvozený výsledek uvažován jako nekonečný součet infinitezimálních veličin . Počet infinitezimálů je obecný pojem pro diferenciální a integrální počet , které tvoří základ moderní vyšší matematiky . Pojem infinitezimální veličiny úzce souvisí s pojmem limita.

Nekonečně malý

Posloupnost se nazývá infinitezimální , jestliže . Například posloupnost čísel je nekonečně malá. $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

Funkce se nazývá infinitezimální v okolí bodu , jestliže . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

O funkci se říká , že je v nekonečnu nekonečně malá , pokud buď . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

Nekonečně malá je také funkce, která je rozdílem mezi funkcí a její limitou, tedy if , then , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alpha (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Zdůrazňujeme, že infinitezimální hodnotu je třeba chápat jako proměnnou hodnotu (funkci), která se teprve v procesu své změny [při snaze do (od )] stává menší než libovolné číslo ( ). Proto například výrok jako „jedna miliontina je nekonečně malá hodnota“ není pravdivý: o čísle [absolutní hodnotě] nemá smysl říkat , že je nekonečně malé. [jeden] $X$ $A$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Nekonečně velký

Ve všech níže uvedených vzorcích nekonečno napravo od rovnosti implikuje určité znaménko (buď "plus" nebo "minus"). To znamená, že například funkce , která je neomezená na obou stranách, není nekonečně velká pro . $x\sin x$ $x\to +\infty$

Posloupnost se nazývá nekonečně velká , jestliže . $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

O funkci se říká , že je nekonečně velká v okolí bodu , jestliže . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Funkce je řekl, aby byl nekonečně velký u nekonečna jestliže jeden . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Stejně jako v případě infinitesimál je třeba poznamenat, že žádnou jednotlivou hodnotu nekonečně velké veličiny nelze nazvat „nekonečně velkou“ – nekonečně velká veličina je funkce , která se může stát větší než libovolně převzaté číslo pouze v procesu jejího změnit .

Vlastnosti infinitezimálů

Algebraický součet konečného počtu nekonečně malých funkcí je nekonečně malá funkce.
Součin infinitezimálů je nekonečně malý.
Součin infinitezimální posloupnosti omezenou je nekonečně malý. V důsledku toho je součin infinitesimály a konstanty nekonečně malý.
Jestliže je nekonečně malá posloupnost zachovávající znaménko, pak je nekonečně velká posloupnost. $a_n$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Porovnání infinitezimálních čísel

Definice

Předpokládejme, že pro stejnou hodnotu máme infinitezimální a (nebo, což není pro definici důležité, nekonečně malé posloupnosti). $x\do a$ $\alpha(x)$ $\beta(x)$

Jestliže , potom je nekonečně malý vyšší řád malosti než . Určit nebo . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alpha$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\prec\alpha$
Jestliže , then je infinitesimálem nižšího řádu malosti než . Podle toho nebo . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha =o(\beta)$ $\alpha\prec\beta$
Jestliže (limita je konečná a nerovná se 0), pak a jsou nekonečně malé veličiny stejného řádu malosti . Toto je označováno jako nebo jako souběžné provádění vztahů a . Nutno podotknout, že v některých pramenech se lze setkat s označením, kdy je stejnost řádů napsána pouze ve formě jednoho vztahu „velké o“, což je volné použití tohoto symbolu. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\beta)$
Jestliže (limita je konečná a nerovná se 0), pak má nekonečně malá veličina tý řád malosti vzhledem k infinitezimální . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $m$ $\alpha$

Pro výpočet takových limitů je vhodné použít L'Hospitalovo pravidlo .

Srovnávací příklady

Hodnota má nejvyšší řád malosti s ohledem na , protože . Na druhou stranu má nejnižší řád malosti s ohledem na , protože . ${x\to 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Pomocí O -symbolů lze získané výsledky zapsat v následujícím tvaru .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ to je, pro funkce a jsou nekonečně malé veličiny stejného řádu. $x\na 0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

V tomto případě záznamy a

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

V , nekonečně malé množství má třetí řád malosti vzhledem k , protože , nekonečně malé je druhého řádu, nekonečně malé je řádu 0,5. ${x\to 0}$ $2x^{3}$ $X$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Ekvivalentní hodnoty

Definice

Jestliže , pak nekonečně malá nebo nekonečně velká množství a nazývají se ekvivalentní (označují se jako ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

Je zřejmé, že ekvivalentní množství jsou zvláštním případem nekonečně malých (nekonečně velkých) množství stejného řádu malosti.

Pro , platí následující vztahy ekvivalence (v důsledku tzv. pozoruhodných mezí ): $\alpha (x){\xšipka doprava[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)} \thicksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , kde , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , kde ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , tak použijte výraz:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\cca {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, kde .

\alpha (x){\xšipka doprava[ {x\to x_{0}}]{}}0

Věta

Limita kvocientu (poměru) dvou nekonečně malých nebo nekonečně velkých veličin se nezmění, pokud je jedna z nich (nebo obě) nahrazena ekvivalentní hodnotou .

Tato věta má praktický význam při hledání limit (viz příklad).

Příklady použití

Nalézt $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Nahrazením ekvivalentní hodnotou získáme

\hřích 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

Nalézt $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Od kdy se dostaneme

\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Vypočítejte . ${\sqrt {1{,}2}}$

Pomocí vzorce : při použití kalkulačky (přesnější výpočty) jsme dostali:, chyba tedy byla 0,005 (méně než 1 %), to znamená, že metoda je užitečná díky své jednoduchosti s hrubým odhadem aritmetiky kořeny blízké jedné.

{\sqrt {1{,}2}}\cca 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\cca 1{,}095

Historie

Pojem „nekonečně malý“ byl ve starověku diskutován v souvislosti s pojmem nedělitelných atomů, ale do klasické matematiky se nedostal. K jeho oživení došlo v 16. století, kdy se v 16. století objevila „metoda nedělitelných“ – rozdělení zkoumané postavy na nekonečně malé úseky.

K algebraizaci infinitezimálního počtu došlo v 17. století. Začaly být definovány jako číselné hodnoty, které jsou menší než jakákoli konečná (kladná) hodnota, a přesto se nerovnají nule. Umění analýzy spočívalo v sestavení vztahu obsahujícího infinitesimály ( diferenciály ) a poté v jeho integraci .

Pojetí infinitesimals bylo těžce kritizováno starými matematiky školy . Michel Rolle napsal, že nový počet je „ souborem důmyslných chyb “; Voltaire jedovatě poukázal na to, že tento kalkul je uměním počítat a přesně měřit věci, jejichž existenci nelze dokázat. Dokonce i Huygens připustil, že nerozumí významu diferenciálů vyšších řádů .

Spory v pařížské akademii věd o otázkách odůvodňující analýzy se staly natolik skandálními, že Akademie kdysi zakázala svým členům na toto téma vůbec mluvit (týkalo se to především Rollea a Varignona). V roce 1706 Rolle veřejně stáhl své námitky, ale diskuse pokračovaly.

V roce 1734 vydal slavný anglický filozof, biskup George Berkeley , senzační brožuru, známou pod zkráceným názvem „The Analyst “. Jeho celý název zní: " Analytik nebo úvaha určená nevěřícímu matematikovi, kde se zkoumá, zda předmět, principy a závěry moderní analýzy jsou jasněji vnímány nebo jasněji vyvozovány než náboženské svátosti a články víry ." Analyst obsahoval vtipnou a v mnoha ohledech spravedlivou kritiku infinitezimálního počtu. Berkeley považoval metodu analýzy za nekonzistentní s logikou a napsal, že „ jakkoli může být užitečná, lze ji považovat pouze za určitý druh domněnky; obratnost, umění nebo spíše úskok, ale ne jako metoda vědeckého důkazu . Berkeley cituje Newtonovu frázi o přírůstku aktuálních veličin „na samém počátku jejich zrození nebo zániku“ ironicky: „ nejsou to ani konečné veličiny, ani nekonečně malé, dokonce ani nic. Nemohli bychom je nazvat fantomy mrtvých velikostí?... A jak lze mluvit o vztahu mezi věcmi, které nemají žádnou velikost?... Ten, kdo dokáže strávit druhý nebo třetí tok [derivát], druhý nebo třetí rozdíl, by neměl , jak se mi zdá, hledat chybu v čemkoli v teologii .

Je nemožné, píše Berkeley, představit si okamžitou rychlost, tedy rychlost v daném okamžiku a v daném bodě, protože pojem pohybu zahrnuje pojmy (konečného nenulového) prostoru a času.

Jak analýza přináší správné výsledky? Berkeley dospěl k závěru, že je to způsobeno přítomností několika chyb v analytických závěrech vzájemné kompenzace, a ilustroval to na příkladu paraboly. Je ironií, že někteří hlavní matematici (jako Lagrange ) s ním souhlasili.

Došlo k paradoxní situaci, kdy se přísnost a plodnost v matematice vzájemně střetávaly. Navzdory použití nelegálních akcí s špatně definovanými pojmy byl počet přímých chyb překvapivě malý - intuice pomohla. A přesto se v průběhu 18. století matematická analýza rychle rozvíjela a neměla v podstatě žádné opodstatnění. Jeho účinnost byla úžasná a mluvila sama za sebe, ale význam diferenciálu byl stále nejasný. Infinitezimální přírůstek funkce a její lineární část byly obzvláště často zaměňovány.

V průběhu 18. století bylo vynaloženo obrovské úsilí na nápravu situace a podíleli se na nich nejlepší matematici století, ale pouze Cauchy dokázal na počátku 19. století přesvědčivě vybudovat základy analýzy. Striktně definoval základní pojmy – limita, konvergence, spojitost, diferenciál atd., po nichž z vědy zmizely skutečné infinitesimály. Některé zbývající jemnosti vysvětlil později Weierstrass . V současné době se v matematice pojem „nekonečně malý“ v drtivé většině případů netýká čísel, ale funkcí a posloupností .

Za ironii osudu lze považovat výskyt nestandardní analýzy v polovině 20. století , která dokázala, že původní úhel pohledu – skutečná infinitesimála – je také konzistentní a mohl by být základem analýzy. S příchodem nestandardní analýzy se ukázalo, proč matematici 18. století provádějící akce, které byly z pohledu klasické teorie nezákonné, přesto dostávali správné výsledky.

Viz také

Poznámky

↑ Nekonečně malé a nekonečně velké množství // Příručka matematiky (pro střední školy) / Tsypkin A. G., ed. Štěpánová S. A. - 3. vyd. — M.: Nauka, Ch. vydání Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 337-340. — 480 s.

Literatura

Nekonečně malé a nekonečně velké množství // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.