Skutečně ceněná funkce

Funkce s reálnou hodnotou je funkce, jejíž hodnoty jsou reálná čísla . Jinými slovy, je to funkce, která každému prvku rozsahu funkce přiřadí reálné číslo.

Reálné funkce reálné proměnné (běžně nazývané reálné funkce ) a reálně hodnotné funkce několika reálných proměnných jsou hlavním předmětem studia v matematické analýze a konkrétněji v teorii funkcí a skutečná proměnná . Zejména mnoho funkčních prostorů sestává z funkcí s reálnou hodnotou.

Algebraická struktura

Označme množinu všech funkcí, které mapují množinu X na reálná čísla . Protože je pole , může být převedeno na vektorový prostor pomocí komutativní algebry pomocí následujících operací: ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — vektorové sčítání
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - nulový prvek
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - skalární
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ - bodové násobení.

Tyto operace se rozšiřují na částečně definované funkce od X do s omezením, že částečně definované funkce a jsou definovány pouze v případě, že oblasti f a g mají neprázdný průsečík. V tomto případě je definičním oborem těchto funkcí průsečík definičních oborů f a g . ${\mathbb R},$ $f+g$ $fg$

Protože se jedná o objednanou sadu, existuje také částečné řazení : $\mathbb {R}$

\f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)

in , což vytváří částečně uspořádaný prsten . ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

Měřitelnost

$\sigma$ -algebra Borelových množin je důležitou strukturou na reálných číslech. Jestliže X má -algebru a funkce f je taková, že inverzní obraz f −1 ( B ) libovolné Borelovy množiny B patří do této -algebry, pak se o funkci f říká, že je měřitelná . Měřitelné funkce tvoří také vektorový prostor s algebrou popsanou výše . $\sigma$ $\sigma$

Navíc množinu (rodinu) funkcí s reálnou hodnotou na X lze ve skutečnosti definovat jako -algebru na X , jako všechny inverzní obrazy Borelových množin (nebo pouze intervaly , což není tak podstatné). To je způsob, jakým se -algebry objevují v teorii pravděpodobnosti ( Kolmoggorov ), kde funkce s reálnými hodnotami na prostoru elementárních událostí Ω jsou skutečné náhodné proměnné . $\sigma$ $\sigma$

Spojitost

Reálná čísla tvoří topologický prostor a kompletní metrický prostor . Spojité funkce reálné hodnoty (s předpokladem, že X je topologický prostor) jsou důležité v teoriích topologických prostorů a metrických prostorů . Věta o extrémní hodnotě říká, že jakákoli skutečná spojitá funkce na kompaktním prostoru má maximum nebo minimum .

Pojem metrického prostoru je sám o sobě definován reálnou funkcí dvou proměnných, spojitou metrikou . Prostor spojitých funkcí na kompaktním Hausdorchově prostoru má zvláštní význam. Na limity sekvencí lze také pohlížet jako na spojité funkce reálné hodnoty na speciálním topologickém prostoru.

Spojité funkce tvoří také vektorový prostor s algebrou nahoře a jsou podtřídou měřitelných funkcí , protože jakýkoli topologický prostor má -algebru tvořenou otevřenými (nebo uzavřenými) množinami. $\sigma$

Hladkost

Reálná čísla se používají jako kodoména k definování hladkých funkcí. Oblastí reálné hladké funkce může být: reálný souřadnicový prostor (který dává funkce několika reálných proměnných ), topologický vektorový prostor , [1] jeho otevřená podmnožina nebo hladká varieta .

Prostory hladkých funkcí jsou také vektorové prostory s algebrami popsanými výše a jsou podtřídami spojitých funkcí .

V teorii míry

Mírou množiny je nezáporný funkcionál reálné hodnoty na -algebře podmnožin [2] . prostory na množinách míry jsou definovány z výše zmíněných měřitelných funkcí s reálnou hodnotou , i když ve skutečnosti jde o kvocientové prostory . Přesněji: vezmeme-li v úvahu, že funkce, která splňuje příslušné podmínky sčítatelnosti, definuje prvek prostoru . V opačném směru: pro jakoukoli funkci a bod , který není atomem , je hodnota f ( x ) nedefinovaná . Prostory s reálnou hodnotou však stále mají některé struktury popsané výše . Každý z prostorů je vektorový prostor, má částečné uspořádání a existuje bodové násobení „funkcí“, které mění p , a to: $\sigma$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$ $f\in \mathrm {L} (X)$ $x\in X$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.

Například tečkovaný součin dvou funkcí L 2 patří k L 1 .

Jiné aplikace

Další kontexty, kde se používají funkce s reálnou hodnotou a jejich vlastnosti: monotónní funkce (na uspořádaných množinách ), konvexní funkce (na vektorových a afinních prostorech ), harmonické a subharmonické funkce (na Riemannových varietách ), analytické funkce (obvykle jedné nebo více reálných proměnné), algebraické funkce (na skutečných algebraických varietách ) a polynomy (v jedné nebo více proměnných).

Viz také

Teorie funkcí reálné proměnné
Parciální diferenciální rovnice – obor, ve kterém se často používají funkce s reálnými hodnotami
norma (matematika)
Skalární

Poznámky

↑ Existuje další definice derivace v obecném případě, ale pro konečné rozměry vede k ekvivalentní definici tříd hladkých funkcí.
↑ Ve skutečnosti může mít míra hodnoty v : viz Rozšířená číselná řada . $[0,+\infty ]$

Literatura

Apostol, Tom M. Matematická analýza. — 2. - Addison-Wesley, 1974. - ISBN 978-0-201-00288-1 .
Geralda Follanda. Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace. - Druhé vydání. - John Wiley & Sons, Inc., 1999. - ISBN 0-471-31716-0 .
Walter Rudin. Principy matematické analýzy. — 3. - New York: McGraw-Hill, 1976. - ISBN 978-0-07-054235-8 .
- Rudin U. Základy matematické analýzy / přeložil V. P. Khavin. - druhý. - Moskva: Mir, 1976.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Real Function (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .