Gaussova celá čísla

Gaussova celá čísla ( Gaussova čísla , komplexní celá čísla ) jsou komplexní čísla , ve kterých jsou jak reálná, tak imaginární část celá čísla [1] .

Příklady: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Poprvé představen Gaussem v monografii „The Theory of Biquadratic Residues“ (1828-1832) [2] [3] . Množina Gaussových celých čísel se obvykle označuje , což odráží skutečnost, že se získá z množiny celých čísel přidáním imaginární jednotky a jejím spojením s celými čísly. Vlastnosti Gaussových čísel jsou podobné vlastnostem obyčejných celých čísel, existují však značné rozdíly. ${\mathbb {Z}}[i],$ $\mathbb {Z}$ $i$

Obecné vlastnosti

Definice a klasifikace

Formální definice:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

Množina obsahuje množinu obyčejných celých čísel a je jejím rozšířením [4] . Součet, rozdíl a součin gaussovských čísel jsou gaussovská čísla; pro ně, stejně jako pro celá čísla, jsou zachovány vlastnosti asociativnosti , komutativnosti a distributivity - takové algebraické struktuře se v obecné algebře říká komutativní okruh [5] . To je nemožné představit uspořádání souhlasné s pořadím reálných čísel v tomto komplexním prstenu . ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Z}$

Konjugát Gaussova čísla je také Gaussovo číslo . $a+bi$ $a-bi$

Každé Gaussovo číslo splňuje kvadratickou rovnici: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Gaussovo číslo je tedy algebraické celé číslo .

Norma

Norma pro Gaussovo číslo je definována jako druhá mocnina jeho modulu [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Vlastnosti normy [7] :

Norma je nula pouze pro nulu. Jinak je normou kladné celé číslo.
Normy konjugovaných čísel jsou stejné.
Norma obyčejného celého čísla se rovná jeho druhé mocnině.
Pokud je norma lichá, pak má tvar , to znamená, že když je děleno 4, zbytek je 1. Žádné Gaussovo číslo nemůže mít normu tvaru . $4n+1$ $4n+3$

Norma, stejně jako modul, má důležitou multiplikativní vlastnost [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

Z toho vyplývá [8] , že invertibilní prvky prstence ( dělitelé jednoty ) jsou ty prvky, jejichž norma je rovna 1, tedy . $\{1;-1;i;-i\}$

Dvě Gaussova čísla se nazývají asociovaná, pokud jedno získáme od druhého vynásobením dělitelem jednoty. Je snadné vidět, že asociace je vztahem ekvivalence [8] . Příklad: Gaussova čísla a jsou spojena, protože: $1+i$ $1-i$

1+i=i(1-i)

Každé nenulové Gaussovo číslo má tři spojené. Normy všech čtyř přidružených čísel jsou stejné.

Teorie dělitelnosti

Integrální dělení

Celočíselné dělení Gaussových čísel je definováno obvyklým způsobem [7] :

O Gaussově čísle se říká, že je dělitelné (celé číslo) Gaussovým číslem , pokud existuje třetí Gaussovo číslo takové, že . Označení: . $u$ $proti$ $q$ $u=vq$ $v\mid u$

Výslovnost: jedna ze tří ekvivalentních možností.

$u$ je děleno ; $proti$
$proti$ rozděluje ; $u$
$proti$ - dělič . $u$

Používají se tradiční pojmy: dělitelný nebo násobek ( ), dělitel ( ) a kvocient ( ). Počet Gaussových dělitelů čísel je vždy konečný, počet násobků nekonečný. $u$ $proti$ $q$

Příklad: číslo 2 je rovnoměrně dělitelné , protože . $1+i$ $2=(1+i)(1-i)$

Všechna Gaussova čísla jsou dělitelná jednotkovými děliteli, takže každé Gaussovské číslo jiné než jednotkové má alespoň 8 dělitelů: 4 jednotkové dělitele a 4 jejich součiny samotným číslem. Těmto dělitelům se říká triviální [9] .

Integrální dělení se svými vlastnostmi podobá analogickému dělení celých čísel. Některé vlastnosti specifické pro Gaussova čísla [8] [7] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Je-li Gaussovo číslo rovnoměrně dělitelné obyčejným celým číslem, pak skutečná i imaginární část jsou dělitelné tímto celým číslem . $z$ $z$
Jestliže a , pak jsou tato čísla spojena. $u\mid v$ $v\mid u$
Jestliže , pak kterékoli ze 3 čísel spojených s je dělitelné kterýmkoli ze 3 čísel spojených s . $u\mid v$ $proti$ $u$
Je-li dělitelný , pak konjugát s dělitelem je dělitelný konjugátem dělitel . $u$ $v\;(u=vq)$ $\overline u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
Všichni dělitelé Gaussova čísla jsou také dělitelé jeho normy . $z$ $N(z)=z\cdot {\overline {z))$
Norma Gaussova čísla je sudá právě tehdy, když je toto číslo dělitelné . $1+i$
Jestliže , pak je norma dělitele na základě multiplikativnosti dělitelná normou dělitele. kde: $v\mid u$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Geometrické znázornění dělitelnosti

Každé Gaussovo číslo má 4 násobky se stejnou normou (a tedy stejným modulem) - to je ono samo a s ním spojená 3 čísla, která se získají postupným násobením : $z$ $z$ $z$ $i$

z;\iz;\-z;\-iz

Ale násobení pomocí rotace vektoru poloměru čísla o 90 ° proti směru hodinových ručiček v komplexní rovině a modul výsledku bude stejný. Všechna 4 čísla tedy tvoří rovnostranný kříž (na obrázku zvýrazněný červeně), jehož střed a vrcholy jsou násobky . Postupným posunutím tohoto kříže ve všech směrech o jednu ze 4 hodnot spojených s , získáme čtvercovou mřížku v celé rovině, jejíž všechny uzly (vrcholy čtverců) jsou násobky . Naopak libovolný násobek se shoduje s jedním z uzlů mřížky. Šířka každého čtverce mřížky je . Dále, pro stručnost, bude tato mříž nazývána „mřížkou násobků“ (nebo, pokud je požadováno upřesnění, „ -mřížkou násobků “). $i$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Příklad: na obrázku je jeden z uzlů mřížky číslo , které je násobkem : $4-2i$ $1+2i$

4-2i=-2i(1+2i)

Jednoduchá Gaussova čísla

Prvočíslo Gaussovo číslo je nenulové číslo, které nemá žádné jiné dělitele než triviální. Číslo, které není prvočíslo, se nazývá složené . Dělitelé jednotky se přitom stejně jako přirozená jednotka nepovažují ani za prvočísla, ani za složená čísla [10] .

Některé vlastnosti jednoduchých Gaussových čísel:

Jestliže je prvočíslo Gaussovo číslo, pak jeho protikladná a sdružená Gaussova čísla jsou také prvočísla. $a+bi$ $-a-bi$ $a-bi$
Pokud je Gaussovo prvočíslo dělitelem součinu Gaussových čísel, pak je dělitelem alespoň jednoho z činitelů.
Norma jakéhokoli jednoduchého Gaussova čísla, kromě čísel spojených s , je vždy lichá, a proto má tvar . $1+i$ $4n+1$

Přirozené prvočíslo nemusí být Gaussovo prvočíslo. Například čísla 2 a 5 již nejsou prvočísla: ${\mathbb {Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

Pro rozklad gaussovských čísel s normou mezi 2 a 100 na jednoduché gaussovské faktory viz tabulku Rozložení gaussovských čísel .

Coprime čísla

Pokud je Gaussovo číslo dělitelem dvou Gaussových čísel a , nazývá se jejich společný dělitel. Množina společných dělitelů dvou čísel obsahuje vždy 4 dělitele jednoho; pokud neexistují žádní další společní dělitelé, nazývají se tato čísla koprimá [11] . $w$ $u$ $proti$

Všimněte si, že pokud jsou normy gaussovských čísel koprime jako celá čísla, pak samotná čísla jsou koprime jako gaussovská čísla. Opak není pravdivý: normy Coprime Gaussova čísla mohou mít společné dělitele — například a jsou coprime, ale jejich normy jsou stejné, a proto nejsou coprime. $u, v$ $u, v$ $5+2i$ $5-2i$

Označme dvě vlastnosti analogické vlastnostem celých čísel.

Je-li každé ze dvou Gaussových čísel koprimé s Gaussovým číslem , pak je jejich součin rovněž prvočíslo [11] s . $u, v$ $w,$ $UV$ $w$
Jestliže a zároveň coprime s , pak [12] . $z|uv$ $z$ $u$ $z|v$

Gaussovo kritérium

Gauss poukázal na definující rysy prvočísla v [13] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Gaussovo číslo je prvočíslo právě tehdy, když: $a+bi$

buď jedno z čísel je nula a druhé je prvočíslo ve tvaru ; $a,b$ $\pm (4n+3)$
nebo obojí není nula a norma je jednoduché přirozené číslo. $a,b$ $a^{2}+b^{2}$

Příklady jednoduchých Gaussových čísel:

k první části kritéria: ; $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i$
do druhé části kritéria: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

Pro větší přehlednost některé zdroje rozdělují druhou část kritéria na dvě [14] :

Čísla spojená s . Jejich norma je 2. $1+i$
Čísla, jejichž normou je jednoduché přirozené číslo tvaru . $4n+1$

Sám Gauss takové rozdělení neudělal [15] .

Důsledky:

Žádné prvočíslo přirozeného tvaru nemůže být prvočíslo Gaussovo číslo. Jednoduchá přirozená čísla tvaru jsou také jednoduchá Gaussova čísla. $4n+1$ $4n+3$
Normou jednoduchého Gaussova čísla je buď jednoduché přirozené číslo, nebo druhá mocnina jednoduchého přirozeného čísla [16] .
Jednoduché přirozené číslo tvaru může být reprezentováno jako součin konjugovaných jednoduchých Gaussových čísel nebo, což je totéž, jako součet čtverců . Tato skutečnost je známá jako Fermat-Eulerova věta . Právě při studiu tohoto tématu, stejně jako teorie bikvadratických zbytků, Gauss úspěšně aplikoval komplexní celá čísla. Naopak, pokud lze prvočíslo přirozené číslo reprezentovat jako součet přirozených čtverců, pak je složené a rozkládá se na dvě konjugovaná Gaussova prvočísla [17] . $4n+1$ $(a+bi) (a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\mathbb {Z}}[i]$
Každé prvočíslo Gaussovo číslo je dělitelem jediného prvočísla přirozeného čísla [17] . To znamená, že rozkladem přirozených prvočísel na Gaussovy faktory se získají všechna Gaussova prvočísla.

Prvotní faktorizace

Existuje analogie hlavní věty aritmetiky : každé Gaussovo číslo, které není nula nebo dělitel jednoty, je rozloženo na prvočinitele a tento rozklad je jedinečný až do pořadí a asociace faktorů [1] [18] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Příklad: . Faktory těchto dvou, zdánlivě odlišných, expanzí jsou párově spojeny: aby nebyla narušena jedinečnost. $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

K praktickému rozkladu Gaussova čísla na prvočinitele můžete použít výše uvedenou vlastnost: všichni dělitelé Gaussova čísla jsou také děliteli jeho normy. Kromě toho norma obsahuje také "extra" prvočinitele odpovídající konjugátu čísla. $z$ $z$

Začít by se tedy mělo rozkladem normy čísla na jednoduché přirozené faktory [19] . $z$

Faktor 2, pokud je přítomen v rozkladu normy, je rozložen jako . Do výsledného rozkladu je nutné zahrnout ty z těchto faktorů (v příslušné míře), kterými se dělí úplně. $(1+i)(1-i)$ $z$
Kromě 2 jsou ostatní faktory normy liché. Faktor zobrazení je jednoduché Gaussovo číslo, takže rozděluje nejen normu , ale i samo sebe . Ale pak tento faktor také dělí konjugované číslo . Z toho plyne, že faktor formy vstupuje vždy do expanze normy v sudé míře a do expanze sebe sama - v poloviční míře. $4n+3$ $N(z)=~z\overline {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
Multiplikátor tvaru lze rozložit na součin konjugovaných Gaussových prvočísel (nebo, což je totéž, na součet druhých mocnin přirozených čísel). A zde je třeba dělením zjistit, který z faktorů se vztahuje k původnímu číslu, a který ke konjugátu. $4n+1$

Například pro rozklad na prvočinitele (norma je 225) se rozlišují jednoduché přírodní faktory: . Podle předchozího . Je dělitelný pouze a není dělitelný . Kvocient se rovná je tedy konečný výsledek: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ $5=(2-i)(2+i)$ $9+12i$ $2+i$ $2-i$ $9+12i$ $3(2+i)$ $2+i,$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Teorie srovnávání

Gaussova srovnání

Koncept modulového srovnání je definován stejným způsobem jako pro celá čísla [20] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Nechť je nějaké Gaussovo číslo. Dvě Gaussova čísla jsou řekl, aby byl srovnatelný modulo jestliže rozdíl je dělitelný (celé číslo) . Záznam: . $w$ $u, v$ $w$ $UV$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Vlastnosti srovnání v jsou v zásadě stejné jako vlastnosti celých čísel. Relace srovnatelnosti je relací ekvivalence , proto se dělí na neprotínající se třídy zbytků - každá taková třída obsahuje všechna vzájemně srovnatelná Gaussova čísla (o daný modul). Pro třídy, stejně jako v případě celých čísel, lze definovat sčítání a násobení, takže se získá modulo gaussovský reziduální kruh . ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Příklad. Vezměme jako srovnávací modul . Poté se rozdělí do dvou tříd zbytků: čísla se stejnou paritou budou spadat do jedné třídy (obsahující násobky pro modul) a čísla s různou paritou budou spadat do jiné. $1+i$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $a+bi$ $a,b$ $a,b$

Gaussovské srovnání má některé zvláštnosti. Pokud například pro celá čísla modulo 3 existují 3 třídy zbytků se zástupci, pak pro Gaussova čísla modulo 3 je počet tříd mnohem větší. Jejich zástupci: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

Jak Gauss objevil, modulo zbytkový kruh obsahuje prvky [20] . Tato skutečnost nás nutí některé klasické věty upravit. Například Fermatův malý teorém pro celá čísla uvádí, že je dělitelný pro libovolné prvočíslo a přirozené číslo . Pro Gaussova čísla to neplatí, i když je omezeno na přirozené hodnoty ; například pro celá čísla je vždy dělitelná 3, ale pro Gaussova čísla není tato hodnota dělitelná ani 3. Modifikovaný analog Fermatovy malé věty je formulován následovně [20] : $a+bi$ ${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2))$ $(a^{p}-a)$ $p$ $p$ $A$ $p$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

Pro prvočíslo Gaussovo číslo a jakékoli Gaussovo číslo je dělitelné . $w=a+bi$ $u$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

Ve stejném příkladu s výsledkem: - je dělitelné 3. $w=3;u=i$ $(i^{9}-i)=0$

Nazývejme třídu modulo reziduí obsahující číslo reverzibilní , pokud porovnání má řešení vzhledem k . Třída je invertibilní právě tehdy, když jsou Gaussova čísla a relativně prvočísla [20] . Konkrétně, pokud je modul kongruencí Gaussovo prvočíslo, pak každá třída nenulových zbytků má inverzní prvek, což znamená, že třídy zbytků modulo a prvočíslo v poli stejně jako ve formě pole . $w,$ $ty,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $X$ $u$ $w$ $w$ ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}),$

Eulerova funkce pro Gaussova čísla

Uveďme analogii Eulerovy funkce pro Gaussova čísla. Definice pro celá čísla není vhodná, už jen proto, že výraz „od do “ v ní obsažený nedává smysl pro komplexní čísla. Nová definice [20] : $jeden$ $n$

Eulerova funkce pro Gaussovo číslo je definována jako počet reverzibilních tříd zbytků modulo . $\varphi (z)$ $z$ $z$

Takto definovaná funkce je stejně jako její prototyp pro celá čísla multiplikativní , takže stačí znát její hodnoty pro prvočísla a jejich přirozené mocniny. Jestliže je prvočíslo Gaussovo číslo, pak [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Příklad: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Nyní můžeme zobecnit Fermatovu malou větu uvedenou v předchozí části na případ libovolného (ne nutně jednoduchého) modulu komparátoru, to znamená, že můžeme dát analog Eulerovy věty [20] :

Pokud je Gaussovo číslo coprime s modulo , pak: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

Geometrické znázornění modulového srovnání

Vezměme si modulo srovnání jako příklad . Jak je uvedeno v části o geometrickém znázornění dělitelnosti, je možné rozdělit komplexní rovinu na čtverce tak, aby uzly této mřížky (vrcholy čtverců) reprezentovaly všechny možné komplexní násobky . Pak, podle definice, čísla jsou srovnatelná modulo , pokud se jejich rozdíl shoduje s jedním z uzlů mřížky násobků. $w=1+2i$ $1+2i$ $w$

Každý čtverec mřížky získáme z libovolného jiného čtverce posunutím (přenosem) o násobek, proto je rozdíl libovolného bodu čtverce a výsledek jeho posunutí také násobkem . Z toho vyplývá konečný závěr [20] : $w,$ $w$

Gaussova čísla jsou modulo srovnatelná právě tehdy, když zaujímají stejnou relativní polohu ve svých čtvercích mřížky násobků. $w$

Například všechny středy čtverců jsou srovnatelné nebo všechny středy jejich příslušných stran atd.

Dělení se zbytkem

Definice

V kruhu lze definovat dělení se zbytkem (jakýmkoli nenulovým Gaussovým číslem) tím, že požadujeme, aby norma zbytku byla menší než norma dělitele [21] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Jakékoli Gaussovo číslo lze se zbytkem vydělit libovolným nenulovým Gaussovým číslem , tedy reprezentovaným jako: $u$ $proti$

u=vq+r

kde kvocient a zbytek jsou Gaussova čísla a . $q$ $r$ $N(r)<N(v)$

Je snadné ukázat, že jako podíl dělení se zbytkem lze vzít Gaussovo číslo nejbližší podílu běžného dělení komplexních čísel [22] .

Je třeba poznamenat, že podmínka „norma zbytku je menší než norma dělitele“ nestačí k zaručení jednoznačnosti zbytku z dělení, proto je zbytek nejednoznačný. Například lze rozdělit na tři způsoby: ${\mathbb {Z}}[i]$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Lze pouze zaručit, že všechny zbytky spadají do stejné třídy zbytků modulo dělitel. Podobná situace však nastává i pro obyčejná celá čísla - například existují dva způsoby dělení se zbytkem 8 3: nebo (oba zbytky jsou modulo menší než dělitel), proto je v aritmetice celých čísel zavedena další podmínka aby byla zajištěna jedinečnost operace: zbytek musí být nezáporný . $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

Příklad . Pro dělení se zbytkem at se nejprve najde podíl obvyklého komplexního dělení: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\cca 3{,}17+1{,}7i

Gaussovo číslo nejblíže výsledku je pak zbytek . Nakonec: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

Pro Gaussova čísla platí analogie čínské věty o zbytku , protože je dokázána pomocí Euklidova algoritmu .

Geometrické znázornění

Z definice dělení se zbytkem vyplývá , že , tedy modul zbytku je vzdálenost mezi komplexními čísly a . Jinými slovy, existuje vzdálenost od dividendy k jednomu z uzlů - mřížka násobků. Požadavek „norma zbytku je menší než norma dělitele“ je ekvivalentní podmínce . Z toho plyne: $u$ $proti$ $|r|=|u-vq|$ $u$ $vq$ $|r|$ $proti$ $|r|<|v|$

Dělení se zbytkem má tolik řešení, kolik uzlů mřížky násobků je menší než z děliče . $u$ $proti$ $proti$ $|v|$

Ve výše uvedeném dělení podle příkladu jsou násobky dělitele nejblíže k dividendě vrcholy čtverce mřížky obsahující dividendu: $7+2i$ $3-i$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Všechny jsou od dividendy ve vzdálenosti menší než . Čtvrtý vrchol čtverce je více než . Proto má tento problém dělení se zbytkem tři řešení. $|v|={\sqrt {10}}$ $5+5i$ ${\sqrt {10}}$

V obecném případě, čerpáme-li z vrcholů čtvercové mřížky více oblouků s poloměrem , dostaneme číslo znázorněné na obrázku. Pokud je dividenda v centrální oblasti (červená zóna), je méně než 100 % ze všech vrcholů a dělení se zbytkem lze provést čtyřmi způsoby. Pokud je dividenda v jednom z „okvětních lístků“ (modrá zóna), pak jeden z vrcholů zmizí a počet řešení je tři. Pro bílou zónu získáme dvě řešení. Konečně, pokud se dividenda shoduje s jedním z vrcholů, pak je zbytek nula a řešení je jedinečné. $proti$ $|v|,$ $|v|,$

Největší společný dělitel

Okruh Gaussových čísel je euklidovský a lze v něm vždy určit největšího společného dělitele , který je jednoznačně určen až po dělitele jednoty [23] .

Největší společný dělitel gcd pro Gaussova čísla a , z nichž alespoň jedno je nenulové, je jejich společný dělitel, který je dělitelný jakýmkoli jiným společným dělitelem a . $(u,v)$ $u$ $proti$ $u$ $proti$

Ekvivalentní definice: GCD je společný dělitel , pro který je norma maximum [24] . $(u,v)$ $u, v$

Vlastnosti GCD

Je-li nějaké gcd známo, pak kterékoli ze tří čísel s ním spojených bude také gcd. Zejména. pokud je jedno z GCD jednotkovým dělitelem, pak budou i ostatní tři GCD.
Gaussova čísla jsou prvočísla právě tehdy, když jejich gcd je jednotkový dělitel.
Existuje analogie Bezoutova vztahu [25] :

Nechť jsou Gaussova čísla a alespoň jedno z nich není nula. Pak jsou Gaussova čísla taková, že platí následující vztah: $u, v$ $x, y$

GCD

(u,v)=xu+yv

Jinými slovy, největší společný dělitel dvou Gaussových čísel může být vždy reprezentován jako lineární kombinace těchto čísel s Gaussovými koeficienty.

Důsledek Bezoutova vztahu [25] : jsou-li Gaussova čísla coprime, pak rovnice vzhledem k má řešení v . Místo 1 ve výše uvedené rovnici může obstát jakýkoli jiný dělitel jednoty, zatímco věta zůstane pravdivá. $u, v$ $xu+yv=1$ $x, y$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Euklidův algoritmus a praktický výpočet gcd

Pro určení gcd v něm je vhodné použít Euclidův algoritmus , který je velmi podobný tomu, který se používá pro celá čísla. GCD se v tomto schématu získá jako poslední nenulový zbytek [26] . K nalezení koeficientů v Bézoutově vztahu lze také použít Euklidův algoritmus [20] . ${\mathbb {Z}}[i]$ $x, y$

Příklad 1. Najděte GCD pro a . $32+9i$ $4+11i$

Krok 1: (děleno zbytkem prvního čísla druhým)

32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i

Krok 2: (děleno zbytkem předchozího dělitele zbytkem předchozího kroku)

4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i

Krok 3: (stejná akce)

2-5i=(3-i)(l-i)-i

Krok 4: (stejná akce, rozdělení dokončeno úplně)

3-i=(-i)(1+3i)

Všimněte si, že norma zbytku monotónně klesá v každém kroku. Poslední nenulový zbytek je , což je dělitel jednoty, takže docházíme k závěru, že studovaná čísla jsou coprime. $-i$

Příklad 2. Najděte GCD pro a . $11+3i$ $1+8i$

Krok 1:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

Krok 2:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

Krok 3: (rozdělení dokončeno)

2-4i=(-1+2i)(-2)

Poslední nenulový zbytek je , a to je požadovaný GCD. Postupným dosazením pravých částí rovností místo levých částí (počínaje předposlední rovností zdola nahoru) získáme Bezoutův vztah pro GCD: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Některé aplikace

Gauss použil algebraickou strukturu, kterou objevil, ke studiu bikvadratických zbytků do hloubky. Je možné naznačit další oblasti úspěšné aplikace Gaussových čísel [27] . Je pozoruhodné, že značná část z nich odkazuje na teorii nikoli komplexních, ale přirozených čísel.

Rozklad přirozených čísel na součty dvou čtverců

Z Gaussova kritéria vyplývá, že prvočíslo přirozeného tvaru lze vyjádřit jako součet druhých mocnin dvou přirozených čísel, a to jedinečným způsobem. Příklad: . $4n+1$ $29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}$

Rozklad přirozených čísel jiného druhu není vždy možný - např. jiná čísla tohoto druhu nelze znázornit jako součet druhých mocnin dvou přirozených čísel. Složená čísla mohou mít také více než jeden rozvoj, například [27] : . Obecná věta: přirozené číslo může být reprezentováno jako součet dvou čtverců právě tehdy, když jsou v jeho kanonickém rozšíření všechny prvočinitele tvaru v sudých mocninách [17] . $15;19;27;103$ $4n+3$ ${\displaystyle 65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2))$ $4n+3$

Příklad: nelze vyjádřit jako součet čtverců, protože číslo 3 (jako 7) je v něm zahrnuto s lichým stupněm. Ale dovedete si představit : $21=3\cdot 7$ ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2))$ $245=7^{2}+14^{2}$

Počítání počtu zobrazení jako součet dvou čtverců

Počet zobrazení přirozeného čísla jako součet čtverců (nebo, což je shodné, počet Gaussových čísel s normou ) lze určit následovně [28] . Rozkládáme se na jednoduché přírodní faktory: $\rho (m)$ $m$ $m$ $m$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda _{1))}p_{2}^({\lambda _{2))}\tečky p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\tečky q_{s}^{{\mu _{s} }}

Zde jsou faktory formy a jsou faktory formy . Pak jsou možné 3 případy. $p_{i}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Pokud je alespoň jeden exponent lichý, nelze číslo reprezentovat jako součet čtverců. $\mu _{j}$ $m$
Ať je vše vyrovnané. Konečný vzorec závisí na paritě . Pokud jsou všechny také sudé, pak vzorec má tvar: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ jeden]

Pokud nejsou všechny sudé, pak se vzorec mírně liší: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

Teorie pythagorejských trojic

Pythagorova trojice je jedním z celočíselných řešení rovnice:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Obecné řešení rovnice závisí na dvou celočíselných parametrech : $m,n$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

Chcete-li generovat pythagorejské trojice, můžete použít tuto techniku. Nechť je libovolné Gaussovo číslo, pro které jsou obě složky nenulové. Umocněním tohoto čísla se získá nějaké další Gaussovo číslo . Potom bude trojka pythagorejská [27] . $z=a+bi$ $a,b$ $c+di$ ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\))$

Příklad: pro původní číslo se získá pythagorejská trojice . $z=17+12i$ $(145;408;433)$

Řešení diofantických rovnic

Řešení mnoha diofantických rovnic lze nalézt, pokud použijeme aparát Gaussových čísel. Například pro rovnici dávají jednoduché transformace dva typy řešení celočíselných kopií [29] , v závislosti na parametrech celého čísla : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2))$ $a,b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

V roce 1850 Victor Lebesgue pomocí Gaussových čísel prozkoumal rovnici a dokázal její neřešitelnost v přirozených číslech. Jinými slovy, mezi přirozenými čísly tvaru není jediná úplná krychle ani jiný stupeň vyšší než druhý [27] . ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$ $n^{2}+1$

Nevyřešené problémy

Najděte počet Gaussových čísel, jejichž norma je menší než daná přirozená konstanta . V ekvivalentní formulaci je toto téma známé jako „ problém Gaussova kruhu “ v geometrii čísel [30] [31] . $R$
Najděte přímky v komplexní rovině obsahující nekonečně mnoho Gaussových prvočísel. Dvě takové čáry jsou zřejmé - to jsou souřadnicové osy; není známo, zda existují další [32] .
Otázka známá jako „ Gaussův příkop “: je možné jít do nekonečna přecházením od jednoho jednoduchého Gaussova čísla k druhému ve skocích o předem určené délce? Problém vznikl v roce 1962 a dosud nebyl vyřešen [33] .

Variace a zobecnění

Dalším historicky důležitým euklidovským kruhem, podobným vlastnostem celým číslům, byla „ Eisensteinova celá čísla “.

Gaussova racionální čísla označovaná jako jsou komplexní čísla ve tvaru , kde jsou racionální čísla . Tato množina je uzavřena pod všemi 4 aritmetickými operacemi, včetně dělení, a proto je polem , které rozšiřuje okruh Gaussových čísel. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a,b$

Historie

Ve dvacátých letech 19. století Carl Friedrich Gauss zkoumal právo bikvadratické reciprocity , což vedlo k monografii The Theory of Biquadratic Residues (1828–1832). Právě v této práci se komplexní celá čísla ukázala jako užitečná pro řešení problémů v teorii čísel , ačkoli formulace těchto problémů nemá nic společného s komplexními čísly. Gauss napsal, že „přirozený zdroj obecné teorie lze nalézt v rozšíření pole aritmetiky“ [3] .

V Gaussově knize se ukázalo, že vlastnosti nových čísel v mnoha ohledech připomínají obyčejná celá čísla. Autor popsal čtyři dělitele jednoty , definoval asociační relaci, pojem prvočísla, uvedl kritérium jednoduchosti a dokázal analogie základní věty aritmetiky , Fermatovy malé věty . Gauss pokračoval podrobně probrat komplexní modulo zbytky, indexy a primitivní kořeny . Hlavním úspěchem zkonstruované teorie byl bikvadratický zákon reciprocity, který Gauss slíbil dokázat v příštím díle; tento svazek nebyl nikdy publikován, ale v Gaussových rukopisech byl nalezen podrobný nástin rigorózního důkazu [3] .

Gauss použil jím zavedená čísla i ve svých dalších pracích, například o algebraických rovnicích [34] . Gaussovy myšlenky byly rozvinuty ve spisech Carla Gustava Jacoba Jacobiho a Ferdinanda Gottholda Eisensteina . V polovině 19. století Eisenstein, Dirichlet a Hermite představili a studovali zobecněné pojetí algebraického celého čísla .

Okruh Gaussových celých čísel byl jedním z prvních příkladů algebraické struktury s neobvyklými vlastnostmi. Postupem času bylo objeveno velké množství struktur tohoto typu a na konci 19. století se objevila abstraktní algebra , která studuje algebraické vlastnosti odděleně od objektů, které tyto vlastnosti nesou.

Poznámky

↑ 1 2 Encyklopedie matematiky, 1977 .
↑ K.F. Gauss, 1959 , s. 655-754.
↑ 1 2 3 Matematika 19. století. Svazek I: Matematická logika, Algebra, Teorie čísel, Teorie pravděpodobnosti, 1978 , str. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 146.
↑ Ireland K., Rosen M., 1987 , s. 23.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , str. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , str. 29.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , str. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 41, 44.
↑ Klasifikace Gaussových prvočísel , str. deset.
↑ K.F. Gauss, 1959 , s. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , kapitola 9.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 33-34.
↑ Conrad, Keith , kapitola 6.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , kapitola 7.
↑ Conrad, Keith , kapitola 3.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 35-36.
↑ Conrad, Keith , kapitola 4.
↑ 1 2 Conrad, Keith , kapitola 5.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , kapitola 8.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 162-163.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — str. 106.
↑ OEIS sekvence A000328 _
↑ Ribenboim, Paulo. Nová kniha rekordů prvočísel, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3. vyd. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Nevyřešené problémy v teorii čísel. — 3. vyd. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Hardy GH, Wright EM, 1968 , str. 189.

Literatura

Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. — M .: Mir, 1987. — 416 s.
Alfutova N. B., Ustinov A. V. Algebra a teorie čísel. Sbírka úloh pro matematické školy. - 3. vydání, Rev. a doplňkové - M. : MTSNMO, 2009. - 336 s. - ISBN 978-5-94057-550-4 .
Gauss KF Pracuje na teorii čísel. - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1959. - S. 695-754.
Gaussovo číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1.
Kalužnin L. A. Hlavní věta aritmetiky. — M .: Nauka, 1969. — 32 s. - ( Populární přednášky o matematice ).
Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století. Matematická logika, algebra, teorie čísel, teorie pravděpodobnosti. - M .: Nauka, 1978. - T.I.
Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra a aritmetika komplexních čísel. Průvodce pro učitele. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 187 s.
Okunev L. Ya. Komplexní celá čísla. - M .: Stát. uch.-ped. Nakladatelství Lidového komisariátu školství RSFSR, 1941. - 56 s.
Senderov V., Spivak A. Součty druhých mocnin a Gaussova celá čísla // Kvant . - 1999. - č. 3 . - S. 14-22 .
Hardy GH, Wright EM Úvod do teorie čísel . — 4. vydání. - Oxford.: Oxford University Press, 1968. - 421 s.

Odkazy

Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (anglicky) (odkaz není dostupný) . Získáno 11. září 2013. Archivováno z originálu 14. června 2006.
Butler, Lee A. Klasifikace gaussovských prvočísel . Datum přístupu: 16. ledna 2017.
Conrad, Keith. Gaussova celá čísla (anglicky) . Staženo: 11. září 2013.

Slovníky a encyklopedie	Larussa Britannica (online)

Algebraická čísla
Odrůdy	Algebraická celá čísla Čebyševské uzly Konstruktivní čísla Ejzenštejnův celek Gaussova celá čísla Kummer prsten Perronova čísla Piso-Vijayaraghavan čísla Kvadratická iracionalita ℚ Kořeny z jednoty Salem čísla
Charakteristický	Conwayova konstanta 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2