Poincareho domněnka

Poincarého domněnka je osvědčená matematická domněnka , že každá jednoduše připojená kompaktní 3 - rozvoda bez hranic je homeomorfní k 3 -kouli . Dohad formulovaný v roce 1904 matematikem Henri Poincarem byl prokázán v sérii článků v letech 2002-2003 Grigory Perelmanem . Po potvrzení důkazu matematickou komunitou v roce 2006 se Poincareho domněnka stala prvním a zatím jediným (2022) vyřešeným problémem tisíciletí .

Zobecněná Poincarého domněnka je tvrzením, že jakákoli -dimenzionální varieta je homotopicky ekvivalentní -dimenzionální sféře právě tehdy, pokud je k ní homeomorfní . Hlavní Poincareho domněnka je speciálním případem zobecněné domněnky pro . Do konce 20. století zůstal tento případ jediným neprokázaným. Perelmanův důkaz tedy také doplňuje důkaz zobecněné Poincarého domněnky. $n$ $n$ $n=3$

Schéma důkazu

Ricciho tok je určitá parciální diferenciální rovnice , podobná rovnici tepla . Umožňuje deformovat Riemannovu metriku na manifoldu, ale v procesu deformace je možný vznik "singularit" - bodů, ve kterých má zakřivení tendenci k nekonečnu a deformace nemůže pokračovat. Hlavním krokem v důkazu je klasifikace takových singularit v trojrozměrně orientovaném případě. Při přiblížení se k singularitě se tok zastaví a provede se „ chirurgický zákrok “ – malá připojená součástka se vyhodí nebo se vyřízne „krček“ (tj. otevřená plocha difeomorfní k přímému produktu ) a vzniklé dva otvory jsou utěsněny dvěma kuličkami tak, aby metrika výsledného potrubí byla dostatečně hladká - poté pokračuje deformace podél Ricciho toku. $(0,1)\krát S^{2}$

Výše popsaný proces se nazývá „Ricciho tok s operací“. Klasifikace singularit nám umožňuje dospět k závěru, že každý „hozený kus“ je difeomorfní ke sférické prostorové formě .

Při dokazování Poincarého domněnky se začíná libovolnou Riemannovou metrikou na jednoduše připojeném 3-manifoldu a aplikuje se na ni Ricciho tok pomocí operace. Důležitým krokem je dokázat, že v důsledku takového procesu je vše „vyhozeno“. To znamená, že původní rozdělovač může být reprezentován jako soubor kulových prostorových forem spojených navzájem trubkami . Výpočet základní grupy ukazuje, že difeomorfně ke spojenému součtu množiny prostorových forem a navíc všechny jsou triviální. Jde tedy o spojený součet množiny koulí, tedy koule. $M$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $[0,1]\krát S^{2}$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $\Gamma _{i}$ $M$

Historie

V roce 1900 Henri Poincaré předpokládal, že 3-manifold se všemi skupinami homologie jako koule je homeomorfní ke kouli. V roce 1904 také našel protipříklad, nyní nazývaný Poincaré koule , a formuloval konečnou verzi svého dohadu. Pokusy dokázat Poincarého domněnku vedly k četným pokrokům v topologii manifoldů.

Poincarého hypotéza dlouho nepřitahovala pozornost badatelů. Ve 30. letech 20. století John Whitehead oživil zájem o domněnku oznámením důkazu, ale pak od toho upustil. V procesu hledání našel několik zajímavých příkladů jednoduše spojených nekompaktních 3-manifoldů, nehomeomorfních , jejichž inverzní obraz je známý jako Whitehead manifold . $\mathbb {R} ^{3}$

Důkazy zobecněného Poincareho dohadu pro získal na počátku 60. a 70. let téměř současně Smale , nezávisle a jinými metodami Stallings (pro , jeho důkaz rozšířil na případy Zeeman ). Důkaz pro mnohem složitější případ získal až v roce 1982 Friedman . Z Novikovovy věty o topologické invarianci Pontrjaginových charakteristických tříd vyplývá, že existují homotopicky ekvivalentní, ale ne homeomorfní variety ve vysokých dimenzích. $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ $n = 5,6$ $n=4$

Důkaz původní Poincareho domněnky (a obecnější Thurstonovy domněnky ) našel Grigory Perelman a publikoval jej ve třech článcích na webu arXiv v letech 2002-2003. Následně v roce 2006 byl Perelmanův důkaz ověřen a předložen v rozšířené podobě nejméně třemi skupinami vědců [1] . Důkaz využívá modifikaci Ricciho toku (tzv. Ricciho toku s chirurgickým zákrokem ) a do značné míry sleduje plán nastíněný R. S. Hamiltonem , který také jako první Ricciho tok aplikoval.

Uznání a hodnocení

V roce 1986 se Michael Friedman stal Fieldsovým medailistou .
V roce 2006 se Grigory Perelman stal Fieldsovým laureátem (odmítl).
V roce 2010 udělil Clay Institute of Mathematics [2] Perelmanovi cenu tisíciletí (odmítl).

Reflexe v médiích

V roce 2006 časopis Science nazval Perelmanův důkaz Poincareho domněnky vědeckým „ průlomem roku “ [3] . Jde o první dílo v matematice, které si takový název zasloužilo [4] .
V roce 2006 Sylvia Nazar publikovala senzační [5] článek " Many Destiny ", který vypráví příběh o důkazu Poincarého domněnky [6] .

Poznámky

↑ I. Ivanov Kompletní důkaz Poincarého domněnky již předložily tři nezávislé skupiny matematiků Archivováno 7. ledna 2007 na Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru
↑ Cena za vyřešení Poincarého domněnky udělená Dr. Grigoriy Perelman Archivováno 8. září 2017 na Wayback Machine . Tisková zpráva Clayova matematického institutu.
↑ Dana Mackenzie. PRŮLOM ROKU: The Poincaré Conjecture—Proved (anglicky) // Science : journal. - 2006. - Sv. 314 , č.p. 5807 . - S. 1848-1849 . - doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . (Angličtina)
↑ Keith Devlin. Největší vědecký průlom roku . Matematická asociace Ameriky . 2006.
↑ Zejména „Manifold Destiny“ byl zahrnut do knihy „ The Best American Science Writing “ pro rok 2007.
↑ Sylvia Nasarová, David Gruber. Manifold Destiny: Legendární problém a bitva o to, kdo ho vyřešil // The New Yorker : magazín. - Condé Nast , 2006. - Ne. 21. srpna . Archivováno z originálu 3. září 2012. Ruský překlad: " Multiple Destiny: The Legendary Challenge and the Battle for Priority Archived 16. February 2008 at Wayback Machine ."

Literatura

Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Bessieres L., Besson J., Boileau M. Proof of the Poincaré Conjecture (založený na dílech G. Perelmana) Archivováno 4. srpna 2020 na Wayback Machine // Mathematical Education . 2019, seř. 3. Vydání. 24, str. 53-69.

Odkazy

Perelman G. Vzorec entropie pro Ricciho tok a jeho geometrické aplikace (anglicky) - 2002. - arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (anglicky) // ArXiv.org - 2003. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0303109
Perelman G. Konečný extinkční čas pro řešení Ricciho toku na určitých třech varietách (anglicky) - 2003. - arXiv:math/0307245
Milnor J. Poincarého domněnka o 99 let později: Zpráva o pokroku
S. Nikolenko. Problémy 2000: Poincarého domněnka // Computerra. - 2006. - č. 1-2 . Archivováno z originálu 18. června 2017.
Morgan J. , Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (anglicky) // ArXiv.org - 2006. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott . Poznámky k Perelmanovým papírům
Terence Tao'' . Perelmanův důkaz Poincarého domněnky : nelineární perspektiva PDE

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007559245005171 LCCN : sh2007003945 NDL : 01115553