Hypoeliptický operátor

Hypoelliptický operátor je parciální diferenciální operátor, jehož základní řešení patří do třídy ve všech bodech prostoru, kromě počátku. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Definice

Dovolit být skutečný polynom v proměnných $P(\xi )$ $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

P(\xi )=\součet _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alfa }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

kde a . ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n))$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n))$

Definujeme odpovídající diferenciální operátor:

P(D)=\součet _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\součet _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\částečné ^{|\alpha |}}{\částečné x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \částečné x_{n}^{\alpha _{n}}}},

kde

D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots ,n.

Zobecněná funkce se nazývá základní řešení diferenciálního operátora, pokud je řešením rovnice , kde je Diracova delta funkce . Operátor se nazývá hypoelliptický , pokud patří do třídy pro všechny . [1] [2] ${\mathcal {E}} (x)$ $P(D)$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ $P(D)$ ${\mathcal {E}} (x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Vlastnosti

Jako definice hypoeliptického operátoru se často používá následující kritérium pro hypoelipticitu: [1]

Věta 1. Operátor je hypoelliptický právě tehdy, když pro libovolnou otevřenou doménu jakékoli řešení (zobecněná funkce) rovnice $P(D)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $u(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

s jakoukoli pravou stranou také patří do třídy $f\in C^{\infty }(U)$ $u\in C^{\infty }(U).$

Platí také následující algebraické kritérium pro hypoelipticitu, stanovené Hörmanderem : [1]

Věta 2. Operátor je hypoelliptický právě tehdy a jen tehdy $P(D)$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

pro všechny kde je pomyslná jednotka . $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $i$

Příklady

Jakýkoli eliptický operátor je hypoelliptický, jako je Laplaceův operátor [2] .
Tepelný operátor je hypoeliptický, ale ne eliptický [2] .
D'Alembertův operátor není hypoelliptický [2] .

Poznámky

↑ 1 2 3 Hörmander L. Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů. - Moskva: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov V.S. Zobecněné funkce v matematické fyzice. - Moskva: Nauka, 1979.

Literatura

Hormander L. Analýza lineárních diferenciálních operátorů s parciálními derivacemi. - Moskva: Mir, 1986-1988.
Vladimirov V.S. Zobecněné funkce v matematické fyzice. - Moskva: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M.A. Shubin. Lineární parciální diferenciální rovnice. Základy klasické teorie . — Výsledky vědy a techniky. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. Pokyny. - Moskva: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Přednášky o lineárních parciálních diferenciálních rovnicích s konstantními koeficienty. - Moskva, 1965.

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata