Skupinový objekt

Skupinový objekt je zobecněním konceptu skupiny na objekt libovolné kategorie , v mnoha případech lze skupinový objekt chápat jako skupinu s další strukturou. Typickým příkladem je topologická grupa , která má topologickou prostorovou strukturu shodnou se skupinovou strukturou v tom smyslu, že skupinová operace je spojitá .

Definice

Nechť C je kategorie s koncovým objektem 1, ve kterém pro libovolné dva objekty existuje jejich součin . Skupinový objekt v C je objekt G kategorie C spolu s trojicí morfismů :

m : G × G → G (morfismus odpovídající "skupinové operaci")
e : 1 → G ("vložení prvku identity")
inv : G → G ("přijetí inverzního prvku"),

pro které musí platit následující vlastnosti (odpovídající axiomům skupiny):

m je asociativní, to znamená a je stejný morfismus (zde kanonicky identifikujeme a ); $m\circ (m\times\mathrm{id}_G)$ $m\circ (\mathrm{id}_G \times m)$ $G\krát G\krát G\do G$ $(G\krát G)\krát G$ $G\krát (G\krát G)$
e je bilaterálně neutrální prvek , to znamená, kde je přirozená projekce na druhý faktor a kde je přirozená projekce na první faktor; $m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\krát G\na G$ $m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1,$ $p_1: G\krát 1 \to G$
inverzní prvek je skutečně inverzní, to znamená, že pokud d : G → G × G je diagonální zobrazení a e G : G → G je složení jedinečného morfismu G → 1 a morfismu e , pak $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Příklady

Skupiny jsou přesně skupinové objekty v kategorii množin . Zde m je operace binárního násobení, e je funkce , která posílá singletonovou sadu do prvku identity skupiny, inv mapuje inverzní prvek na prvek skupiny a e G posílá všechny prvky skupiny do identity.
Topologická skupina je skupinový objekt v kategorii topologických prostorů a spojitých zobrazení .
Lieova grupa je grupový objekt v kategorii hladkých variet a hladkých zobrazení .
Algebraická grupa je grupový objekt v kategorii algebraických variet a regulárních zobrazení . V moderní algebraické geometrii je také zvažován obecnější koncept skupinového schématu - objekt skupiny v kategorii schémat .
Skupinové objekty v kategorii skupin jsou přesně abelovské skupiny . Je-li G abelovská grupa, pak m , e a inv , definované obvyklým způsobem, splňují vlastnosti grupového objektu (konkrétně, protože grupa G je abelovská , vyplývá z toho, že inv je homomorfismus ). Naopak, pokud ( G , m , e , inv ) je grupový objekt v kategorii grup, lze dokázat, že operace m je stejná jako původní operace na grupě G , z čehož vyplývá, že e a inv jsou také definovaný obvyklým způsobem. Viz také Eckmann-Hiltonův argument.
Je-li C kategorie s konečnými koprodukty (zejména s počátečním objektem 0, který je koproduktem prázdné množiny objektů), je objekt koskupiny kategorie C objektem G spolu s následujícími morfismy: "komultiplikace" m : G → G G, „counit“ e : G → 0 a „ko-inverze“ inv : G → G , které splňují axiomy duální k axiomům skupinového objektu uvedeného výše. Cogroup objekty přirozeně vyvstávají v algebraické topologii . $\oplus$

Viz také

Na Hopfovy algebry lze pohlížet jako na zobecnění skupinových objektů na libovolnou monoidní kategorii .

Odkazy

Bucur I., Deleanu A. Úvod do teorie kategorií a funktorů. — M.: Mir, 1972. — 259 s.
Lang, Serge (2002), Algebra. - Graduate Texts in Mathematics 211 (Revidované třetí vydání), New York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 .