Delta potenciál v kvantové mechanice

Delta potenciál v kvantové mechanice je obecný název pro profily potenciální energie částice, daný výrazy s Diracovou delta funkcí . Takové profily modelují fyzickou situaci, kdy jsou velmi úzká a ostrá maxima nebo minima potenciálu.

Jednoduchými příklady takových profilů jsou tunelová bariéra ve tvaru delty a kvantová studna ve tvaru delta Vyvstává otázka o koeficientu přenosu částice, stejně jako o existenci a energiích vázaných stavů. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $X$ $m$

Ve většině případů se při zvažování chování částice hledá řešení jednorozměrné stacionární Schrödingerovy rovnice s odpovídajícím potenciálem. Obvykle se předpokládá, že částice se pohybuje pouze ve směru a v kolmé rovině nedochází k žádnému pohybu . $X$ $yz$

Přístup k řešení Schrödingerovy rovnice

Stacionární jednorozměrná Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci má tvar $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\vpravo]\psi (x)=E\psi (x)

kde je Hamiltonián , je Planckova konstanta , je celková energie částice a . Po integraci této rovnice přes úzký úsek blízko nuly ${\klobouk {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

povést se

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Velké ikony a označují oblasti vlevo a vpravo od bariéry nebo jámy (z angličtiny left, right ). V bodě musí být splněna podmínka spojitosti vlnové funkce $_{L}$ $_{R}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

a podmínku spojitosti pro hustotu toku pravděpodobnosti

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Tyto dvě podmínky jsou relevantní bez ohledu na to, zda mluvíme o bariéře ve tvaru delty nebo studně, a také (pro studnu), zda je energetická hodnota větší nebo menší než nula (u bariéry tato možnost není možná). $E$ $E<0$

Koeficienty prostupu a odrazu

V této části předpokládáme, že a uvažujeme průchod částice bariérou nebo studnou. $E>0$

Bariéra nebo jáma rozděluje prostor na dvě části ( ). V obou těchto oblastech jsou řešením Schrödingerovy rovnice rovinné vlny a lze je zapsat jako jejich superpozici : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

kde je vlnový vektor . Malé indexy a koeficienty a označují směr vlnového vektoru doprava a doleva. Vztah mezi těmito koeficienty lze zjistit z podmínek pro a na vypsaných na konci předchozí části: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\right)

Nechť se dopadající částice přiblíží k bariéře zleva ( a ), pak koeficienty a , které určují pravděpodobnost odrazu a průchodu, mají tvar: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

V klasickém případě částice s konečnou energií nemůže překonat nekonečnou potenciální bariéru a zaručeně projde studnou. U kvantového přístupu je situace jiná: koeficienty prostupu a odrazu jsou $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))))))

Existují tři nečekané, z klasického pohledu, výsledky najednou. Za prvé, existuje nenulová pravděpodobnost průchodu (přenosový koeficient ) pro nekonečně vysokou bariéru. Za druhé, protože vzorec je docela použitelný pro záporné , pravděpodobnost průchodu přelivem se liší od jednoty. Za třetí, při změně znaménka se hodnota nemění , to znamená, že pravděpodobnosti proražení částice energií skrz bariéru a průchodu studnou nad studnou jsou co do počtu stejné. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Diskrétní stav ve studni ve tvaru delty

V této sekci se předpokládá, že se uvažuje pouze jáma ( ), konkrétně je určena energie diskrétního stavu částice v ní. $E<0$ $\lambda <0$

V obou oblastech lze řešení Schrödingerovy rovnice, jak je uvedeno výše, zapsat jako součet exponenciál

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

kde . Nyní se však jedná o imaginární hodnotu, a proto by v záznamu měly být ponechány pouze ty exponenty, které se zmenšují, nikoli zvyšují, o plus a mínus nekonečno: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

Z podmínek pro a u vyplývá a již s přihlédnutím k tomuto požadavku . Odtud $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\displaystyle A_{l}=B_{r))$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

to znamená, že ve studni ve tvaru delty je přesně jedna úroveň se zapsanou energií.

Praktický význam delta modelu

Situace tunelování deltaickým potenciálem je limitujícím případem tunelování pravoúhlou bariérou šířky a výšky , ve které tendence k nule ak nastává tak, že součin je konstantní a roven nějaké konstantě . $A$ $PROTI$ $A$ $PROTI$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

Problém tunelování přes bariéru podobnou deltě je standardní modelový problém v kvantové mechanice. Vzniká např. při popisu přenosu proudu mezi dvěma vodivými oblastmi, na jejichž spoji se samovolně vytvoří tenký oxidový film. Pokud je přibližně známa tloušťka filmu a jeho chemické složení, lze použít obdélníkový nebo lichoběžníkový model bariéry. V některých případech je však jediným východiskem použití modelu delta potenciálu.

Podobně s problémem delta studny: model lze použít jako hrubou aproximaci. Hodnota slouží jako vhodný parametr pro bariéru i studnu. $\lambda$

Literatura

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989 . — 768 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia