Dedekind zeta funkce

Dedekind zeta funkce je zeta funkce algebraického číselného pole , což je zobecnění Riemannovy zeta funkce . $\zeta _{K}(s)$ $K$

Definice a hlavní vlastnosti

Dovolit být algebraické číselné pole, být komplexní číslo , pak $K$ $s$

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q } }(já))^{s}}}

kde protéká všemi nenulovými ideály kruhu celých čísel v poli , je absolutní norma ideálu (která se rovná indexu ). Tato série naprosto pro všechny konverguje se skutečnou částí . $já$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $N_{K/\mathbb {Q} }$ $já$ $[{\mathcal {O}}_{K}\colon I]$ $s\in \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} (s)>1$

Obecně je funkce Dedekind zeta definována jako

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}

kde protéká všemi celočíselnými děliteli pole a označuje normu dělitele . $\mathfrak{a}$ $K$ $N({\mathfrak {a}})$ $\mathfrak{a}$

Vlastnosti

Jestliže je pole racionálních čísel , pak jsou Riemannovy zeta funkce. $K=\mathbb {Q}$ $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)=\zeta (s)$

Produkt Euler

Funkce Dedekind zeta se rozšiřuje na produkt Euler přes všechny hlavní ideály prstenu $K$ $P$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\zeta _{K}(s)=\prod \limits _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{ (N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}

v . $\operatorname {Re} (s)>1$

Tento vzorec vyjadřuje jedinečnost rozkladu ideálu na součin prvotních ideálů v Dedekindově prstenu . Neboť tento součin nenulových faktorů konverguje absolutně k , z čehož vyplývá, že v této oblasti . $já$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Re} (s)>1$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(s)\neq 0$

Analytické pokračování

$\zeta _{K}(s)$ má analytické pokračování do celé komplexní roviny, což je meromorfní funkce s jednoduchým pólem v . $s=1$

Funkční rovnice

Stejně jako Riemannova zeta funkce splňuje Dedekindova zeta funkce nějakou funkční rovnici týkající se hodnot a . Konkrétně nechť je diskriminant pole , je počet skutečných vložení a je počet párů komplexně sdružených vložení pole v . Označit $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{K}(1-s)$ $D(K)$ $K$ $r$ $t$ $K$ $\mathbb {C}$

\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)

\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)

kde je funkce gama . Pak funkce $\Gamma (s)$

\Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma _{\mathbf {C } }^{t}(s)\zeta _{K}(s)

splňuje funkční rovnici

\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)

Vztah k charakteristikám pole

Stejně jako Riemannova zeta funkce obsahují hodnoty Dedekindovy zeta funkce (alespoň hypoteticky) důležité aritmetické informace o . $K$

Například bod je jednoduchý pól a pro pole algebraických čísel stupňů ( definovaných výše) je zbytek v tomto bodě $s=1$ $\zeta _{K}(s)$ $K$ $n=r+2t$ $r,t$

\lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R( K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}h(K)

kde je počet tříd dělitele, je diskriminant pole , je kontrolér pole a je počet kořenů 1 obsažených v (řád torzní podskupiny ). Zbytek v tomto bodě dává analytický vzorec pro počet tříd . $h(K)$ $D(K)$ $R(K)$ $K$ $w(K)$ $K$ ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$

Dalším příkladem je nula , jejíž pořadí se rovná hodnosti skupiny jednotek prstenu . Limit v tomto bodě je $s=0$ $u$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)} }.

To vyplývá z funkční rovnice a vztahu . $u=r+t-1$

Z funkcionální rovnice a skutečnosti, že pro všechna přirozená čísla získáme, že . pro všechny , kromě případů, kdy jsou plně platné (tj. kdy , tj. kdy nebo ). V plně reálném případě Siegel ukázal, že je to nenulové racionální číslo pro zápornou lichou . Stephen Lichtenbaum navrhl domněnku pro vyjádření speciálních hodnot pro tato racionální čísla z hlediska algebraické teorie K-pole . $\Gamma (-n)=\infty$ $n$ $\zeta _{K}(-2n)=0$ $\zeta _{K}(-2n-1)=0$ $K$ $K$ $t=0$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0$ $\zeta _{K}(s)$ $s$ $K$

Vztah s funkcemi zeta a L

V případě, že je abelovská extenze , její Dedekind zeta funkce může být reprezentována jako součin Dirichletových L-funkcí . Pokud je například kvadratické pole , znamená to, že $K$ $\mathbb {Q}$ $\zeta _{K}(s)$ $K$

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)))=L(s,\chi )

kde je Jacobiho symbol použitý jako Dirichletův znak . Tento vztah je analytickým přeformulováním Gaussova kvadratického zákona reciprocity . $\chi$

Obecně, jestliže je Galoisovo rozšíření pole s Galoisovou grupou , pak jeho Dedekindova zeta funkce je Artin L-funkcí regulární reprezentace , a proto se rozkládá na součin Artinových L-funkcí neredukovatelných Artinových reprezentací . $K$ $\mathbb {Q}$ $G$ $G$ $G$

Spojení s Artin L-funkcemi ukazuje, že pokud je Galoisova extenze, pak je holomorfní ( "rozděluje" ). V případě libovolného rozšíření vyplývá podobné tvrzení z Artinovy domněnky pro L-funkce $L/K$ ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)))$ $\zeta _{K}(s)$ $\zeta _{L}(s)$

Navíc je Hasse-Weil zeta funkce pro a motivická L-funkce motivu pocházející z kohomologie . $\zeta _{K}(s)$ $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Spec} K$

Rozšířená Riemannova hypotéza

Rozšířená Riemannova hypotéza (RHR) říká, že pro libovolné algebraické číselné pole, jestliže je komplexní kořen rovnice ležící v tzv. kritickém pruhu , pak jeho reálná část je . $K$ $s$ $\zeta _{K}(s)=0$ $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$

Obvyklá Riemannova hypotéza se získá z rozšířené pro . $K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z}$

Efektivní verze [6] Chebotarevovy věty o hustotě vyplývá z RGR : pokud je konečné Galoisovo rozšíření s Galoisovou grupou a je množinou tříd konjugace , počet nerozvětvených prvočísel v normě nepřesahující Frobeniovu třídu konjugace v roste . tak jako $L/K$ $G$ $C$ $G$ $K$ $X$ $C$

{\frac {|C|}{|G|))}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\ln x+ \ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )

kde konstanta in je absolutní, je stupeň rozšíření nad a je diskriminant. $Ó$ $n$ $L$ $\mathbb {Q}$ $D(K)$

Literatura

J. Bernstein, St. Gelbart. Úvod do programu Langlands. - Moskva - Iževsk, 2008.
Z.I.Borevich, I.R.Shafarevich. Teorie čísel. — M.: Nauka. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985.
J. Cassels, A. Froelich. Algebraická teorie čísel. — M.: Mir, 1969.