Dipolární souřadnicový systém

Dipolární [1] , nebo dipólový [2] , souřadnicový systém je trojrozměrný křivočarý ortogonální souřadnicový systém založený na bodovém (centrálním) dipólu , přesněji na jeho transformačních invariantech souřadnic .

Definice

V dipolárním souřadnicovém systému vázaném na bodový dipól je každý bod v prostoru definován třemi čísly. V tomto případě se při fixaci jedné ze souřadnic získá ekvipotenciální plocha a při fixaci dalších dvou se získá siločára . Siločáry jsou kolmé k ekvipotenciálním plochám. Dipolární souřadnicový systém má rotační (axiální) symetrii kolem osy dipólu.

Obrázek vpravo (počítaný na počítači) na rovině procházející osou dipólu ukazuje jeho siločáry (červeně) a také řezy ekvipotenciálních ploch touto rovinou (zeleně). Samotný dipól je ve středu obrázku. Vzor má dvě osy symetrie, horizontální a vertikální, znázorněné jako rovné čáry. Svislá čára na obrázku je osou dipólu. Siločáry jsou nakresleny červeně, jsou protáhlejší, umístěné vlevo a vpravo od dipólu, a zelené čáry, více zaoblené, umístěné nad a pod dipólem, jsou úseky ekvipotenciálních ploch ("ekvipotenciální čáry") . Souřadnicové čáry dipolárního souřadnicového systému v trojrozměrném prostoru se získávají otáčením tohoto vzoru kolem svislé osy.

Dipolární souřadnicový systém je široce používán v matematickém modelování dipólových systémů. Navíc označení souřadnic, jejich pořadí a směr nejsou ustálené a mohou se měnit [1] [2] [3] .

Definice dipolárních souřadnic z hlediska souřadnic jiných systémů

Středy souřadnicových systémů se shodují a jsou vzájemně vůči sobě orientovány: osy systémů a zeměpisná délka se shodují.

Kulový souřadnicový systém

Souřadnicové složky dipolárního systému simulujícího magnetický dipól se určují pomocí sférických souřadnic takto [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(r,\theta ,\varphi )$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi .

V souladu s terminologií sférického souřadnicového systému je zde vzdálenost k počátku souřadnic (radiální vzdálenost), je zenit, nebo polární, úhel , nebo sklon , nebo colatitude, je azimutální úhel. Rovnice určuje ekvipotenciální povrch magnetického pole a soustava rovnic určuje siločáru. $r$ $\theta$ $\varphi$ $\beta ={\text{const))$ $\alpha ={\text{const)),\lambda ={\text{const))$

Hodnoty dipolárních souřadnic mají následující omezení:

0\leqslant \alpha <+\infty

... _ _

-\infty <\beta <+\infty

0^{\circ }\leqslant \lambda <360^{\circ }

kde souřadnice a (stejně jako a ) nejsou definovány v , a souřadnice (a ) také nejsou definovány v a . $\beta$ $\lambda$ $\theta$ $\varphi$ $\alpha = 0$ $\lambda$ $\varphi$ $\theta =0^{\circ }$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ ))$

Přechod od složek nějakého vektoru ve sférických souřadnicích ke složkám v dipolární soustavě se provádí podle vzorců [1] $\mathbf {A}$

{\begin{pmatrix}A_{\alpha }\\A_{\beta }\\A_{\lambda }\end{pmatrix))={\frac {1}{\sqrt {\delta ))} {\begin{pmatrix}\sin \theta &-2\cos \theta &0\\-2\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&0&{\sqrt {\delta ))\end{pmatrix)) {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix)),

kde

\delta =1+3\cos ^{2}\theta =1+3\beta ^{2}r^{4}.

Nechť , , jsou souřadnicové vektory v tomto dipolárním souřadnicovém systému. Potom [1] ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda ))$

{\displaystyle \mathbf {e} _{\beta } \times \mathbf {e} _{\alpha }=\mathbf {e} _{\lambda ))

... _ _

{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha } \times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\beta ))

{\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\beta }=\mathbf {e} _{\alpha ))

tj. takto definovaný dipolární souřadnicový systém je podle gimletova pravidla ponechán.

Není možné jednoznačně vyjádřit například rovnicemi pro určení takových [ 1] : $(r,\theta ,\varphi )$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $r,\theta$

\alpha \beta ^{2}r^{4}+r-\alpha =0,\alpha ^{2}\beta \sin ^{4}\theta -\cos \theta =0.

Někdy se používá bezrozměrná vzdálenost , kde je nějaká pevná vzdálenost, a to následovně [2] : ${\displaystyle {\tilde {r}}={\frac {r}{r_{c))))$ $r_{c}$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi .

Pak

\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}\times \mathbf {e} _{\tilde {\beta }}=\mathbf {e} _{\lambda }

... _ _

\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}

\mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}=\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}

tj. takto definovaný dipolární souřadnicový systém je podle gimletova pravidla správný.

Kartézský souřadnicový systém

Souřadnicové složky dipolárního systému simulujícího magnetický dipól se určují pomocí kartézských souřadnic a radiální vzdálenosti takto [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(x,y,z)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$

\alpha ={\frac {r^{3}}{x^{2}+y^{2}}},\beta ={\frac {z}{r^{3}}},\ lambda =\název operátora {arctg} {\frac {y}{x)).

Nelze se jednoznačně vyjádřit pomocí [1] : $(x,y,z)$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

x={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\cos \lambda }{\sqrt {\alpha }}},y={\frac {{\sqrt {r^{3} }}\sin \lambda }{\sqrt {\alpha }}},z=\beta r^{3}.

Diferenciální charakteristiky

První a druhá derivace

Jacobiho matice přechodu z kartézských do dipolárních souřadnic má tvar [1] :

{\frac {D(x,y,z)}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\cos \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \cos \lambda &-\delta r\sin \ theta \sin \lambda \\\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\sin \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \sin \ lambda &\delta r\sin \theta \cos \lambda \\3\sin ^{4}\theta \cos \theta &r^{3}(1-3\cos ^{2}\theta )&0\end{ pmatrix}}.

Jacobiho matice přechodu ze sférických do dipolárních souřadnic má tvar [1] :

{\frac {D(r,\theta ,\varphi )}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix} \sin ^{4}\theta &-2r^{3}\cos \theta &0\\-(2\sin ^{3}\theta \cos \theta )/r&-r^{2}\sin \theta &0\\0&0&\delta \end{pmatrix}}.

Kulhavé koeficienty

H_{\alpha }={\frac {\sin ^{3}\theta }{\sqrt {\delta }}},H_{\beta }={\frac {r^{3}}{\ sqrt {\delta ))},H_{\lambda }=r\sin \theta ,H_{\beta }=\alpha ^{2}H_{\alpha }H_{\lambda }.

Druhé deriváty [1] :

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \alpha ^{2))}=-{\frac {4\sin ^{6}\theta \cos ^{2}\theta ( 5+3\cos ^{2}\theta )}{r\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \beta ^{2))}={\frac {2r^{5}(15\cos ^{4}\theta +10\cos ^{2}\theta -1)}{\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \alpha ^{2))}={\frac {2\sin ^{5}\theta \cos \theta (9\cos ^ {4}\theta +16\cos ^{2}\theta -1)}{r^{2}\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \beta ^{2))}={\frac {r^{4}\sin \theta \cos \theta (9\cos ^ {2}\theta +11)}{\delta ^{3}}}.

Nechť je nějaká skalární funkce . Jeho první derivace v dipolárních a sférických souřadnicích spolu souvisí [1] : $F$

\delta {\frac {\partial f}{\partial \alpha ))=\sin ^{4}\theta {\frac {\partial f}{\partial r))-2{\frac {\ sin ^{3}\theta \cos \theta }{r}}{\frac {\částečné f}{\částečné \theta )),

\delta {\frac {\partial f}{\partial \beta }}=-2r^{3}\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial r}}-r^{2 }\sin \theta {\frac {\částečné f}{\částečné \theta )),

{\frac {\partial f}{\partial \lambda ))={\frac {\partial f}{\partial \varphi )),

nebo

{\frac {\partial f}{\partial r))={\frac {1}{\sin ^{2}\theta )){\frac {\partial f}{\partial \alpha )) -{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}{\frac {\částečné f}{\částečné \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \theta }}=-2r{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{ \partial \alpha ))-{\frac {\sin \theta }{r^{2))}{\frac {\partial f}{\partial \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \varphi ))={\frac {\partial f}{\partial \lambda )).

Jeho Laplaceův operátor je [1]

\Delta f={\frac {4}{r\sin ^{4}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}+{\frac {\delta }{\ sin ^{6}\theta }}{\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný \alpha ^{2}}}+{\frac {\delta }{r^{6}}}{\ frac {\partial ^{2}f}{\partial \beta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\částečné \lambda ^{2}}}.

Vektorové operace

Souřadnice vektorových diferenciálních operátorů v dipolární soustavě jsou následující [1] :

\operatorname {grad} f={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\mathbf { e} _{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\částečné f}{\částečné \beta }}\mathbf {e} _{\ beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\částečné f}{\částečné \lambda }}\mathbf {e} _{\lambda },

\operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\ částečný \alpha }}+4{\frac {1-3\cos ^{4}\theta }{{\sqrt {\delta }}^{3}r\sin \theta }}A_{\alpha }+{ \frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\částečné A_{\beta }}{\částečné \beta }}\;-

-\;3{\frac {\cos \theta (3+5\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta } +{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\částečné A_{\lambda }}{\částečné \lambda }}),

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \lambda }} -{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\částečné A_{\lambda }}{\částečné \beta }}+{\frac {3\cos \theta } {{\sqrt {\delta }}r}}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\alpha }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \alpha }} -{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\částečné A_{\alpha }}{\částečné \lambda }}+{\frac {1-3\cos ^{2}\theta }{{\sqrt {\delta }}r\sin \theta }}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\beta }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \beta }}-{\ frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \alpha }}-6{\frac {\cos \theta ( 1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\alpha }\;-\vpravo.

-\;\left.3{\frac {\sin \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\ beta }\right)\mathbf {e} _{\lambda }.

Matematické modelování Země

Pro popis chování nabitých částic v magnetickém poli Země je nejvhodnější (mnohem pohodlnější než sférický geomagnetický souřadnicový systém ) dipolární souřadnicový systém [2] .

Dipólový souřadnicový systém při modelování Země je postaven následovně [1] [2] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

jeho začátek je umístěn ve středu Země ;
osa dipólu směřuje podél osy magnetického dipólu Země (geomagnetická osa) procházející magnetickými póly ;
souřadnice se mění kolmo na vektor magnetického pole Země v rovině geomagnetického poledníku; $\alpha$ $\mathbf {B}$
souřadnice se mění podél dipólové siločáry, tj. její směr se shoduje se směrem vektoru ; $\beta$ $\mathbf {B}$
souřadnice se mění ve směru kolmém k prvním dvěma. $\lambda$

Teoreticky lze dipolární souřadnicový systém zapsat i jako levý souřadnicový systém, kdy souřadnicový vektor směřuje ze středu Země např. takto [1] : ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi ,

a jako pravý souřadnicový systém, kdy souřadnicový vektor směřuje do středu Země [2] , například takto: ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi ,

kde , je poloměr Země . ${\tilde {r}}={\frac {r}{R_{E}}}$ $RE}$

Souřadnice systému mají následující fyzikální význam [2] :

$\alpha$ a - v tomto pořadí rozměrná (vm nebo km) a bezrozměrná (v poloměrech Země ) geocentrická vzdálenost k vrcholu siločáry, - McIlwainův parametr ; ${\displaystyle L={\frac {1}{\tilde {\alpha ))))$ $RE}$ $L$
$\beta$ a jsou rozměrový a bezrozměrný geomagnetický potenciál; ${\tilde {\beta ))$
$\lambda$ je geomagnetická délka.

Poznámky

Prameny

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Fatkullin M. N., Sitnov Yu. S. Dipolární souřadnicový systém a některé jeho vlastnosti // Geomagnetismus a aeronomie. 1972. V. 12, č. 2. S. 333-335.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Fyzika ionosféry. M.: Nauka, 1988. § 3.5, s. 173-174. ISBN 5-02-000716-1
↑ Kashchenko N. M., Matsievsky S. V. Matematické modelování nestabilit rovníkové F-vrstvy ionosféry // Bulletin Kaliningradské státní univerzity. 2003. Vydání. 3. S. 59-68.

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor