Riemann-Liouvilleův diferenciální integrál

V matematice, Riemann-Liouville diferenciální integrál mapuje reálnou funkci k jiné funkci stejného typu pro každou hodnotu parametru . Tento diferenciální integrál je zobecněním iterované primitivní funkce v tom smyslu, že pro kladná celá čísla je iterační derivací funkce objednávky . Riemann-Liouvilleův diferenciální integrál je pojmenován po Bernhardu Riemannovi a Josephu Liouvillem , z nichž druhý v roce 1832 jako první zvážil možnost zlomkového počtu. [1] Tento operátor je konzistentní s Eulerovou transformací při působení na analytické funkce . [2] To bylo zobecněno na libovolné dimenze Marcelem Reesem , který představil Reesův potenciál . $f\dvojtečka\R\do\R$ $I^{\alpha }f$ $\alpha >0$ $F$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $F$ $\alpha$

Riemann-Liouvilleův integrál je definován jako:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

kde je funkce gama a je libovolný, ale pevný referenční bod. To, že je tento integrál dobře definován, zajišťuje lokální integrovatelnost funkce , je komplexní číslo v polorovině . Závislost na referenčním bodu často není významná a představuje volnost ve výběru integrační konstanty . je samozřejmě primitivním prvkem (prvního řádu) funkce , pro kladná celá čísla je primitivním prvkem řádu podle Cauchyho iterovaného integračního vzorce . V jiném zápisu, zdůrazňujícím závislost na referenčním bodu, má tvar [3] : $\Gamma$ $A$ $F$ $\alpha$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $A$ $I^{1}f$ $F$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $\alpha$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Tento výraz má také smysl pro , s příslušnými omezeními na . $a=-\infty$ $F$

Základní vztahy zůstávají:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

poslední z nich je vlastnost pologrupy . [1] Tyto vlastnosti umožňují nejen definovat zlomkovou integraci, ale také zlomkovou derivaci tím, že vezmeme dostatečný počet derivací funkce . $I^{\alpha }f$

Vlastnosti

Dovolit být pevně ohraničený interval . Operátor mapuje jakoukoli integrovatelnou funkci na funkci na , která je také integrovatelná podle Fubiniho teorému . Definuje tedy lineární operátor v prostoru : $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $F$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

Z Fubiniho věty také vyplývá, že tento operátor je spojitý vzhledem ke struktuře Banachova prostoru na . Platí tedy následující nerovnost: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Zde označuje normu v . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

V obecnějším případě z Hölderovy nerovnosti vyplývá, že pokud patří do , pak také patří do a podobná nerovnost platí: $F$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

kde je prostorová norma na intervalu . Definuje tedy ohraničený lineární operátor od sebe. Navíc má tendenci se v - smyslu podél skutečné osy. to je: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $F$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

pro všechny . Navíc vyhodnocením maximální funkce operátoru lze prokázat bodovou konvergenci téměř všude . $p\leqslant 1$ $já$ $I^{\alpha }f\to f$

Operátor je dobře definován na sadě lokálně integrovatelných funkcí na celé reálné lince . Definuje ohraničené zobrazení na libovolném Banachově prostoru funkcí exponenciálního typu , skládající se z lokálně integrovatelných funkcí , pro které platí norma ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

konečný. Pro out má Laplaceova transformace funkce obzvláště jednoduchou formu: $F$ ${\displaystyle X_{\sigma ))$ $I^{\alpha }f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

kde . Zde je Laplaceova transformace funkce označena a tato vlastnost vyjadřuje skutečnost, že se jedná o Fourierův multiplikátor . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(s)$ $F$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$

Zlomkové deriváty

Můžete také definovat derivace zlomkového řádu funkce : $F$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

kde označuje operaci převzetí celé části čísla . Je také možné získat diferenciálně-integrální interpolaci mezi diferenciací a integrací definováním: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \ alpha \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Poznámky

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Zlomková integrace a diferenciace , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Eulerova transformace , v Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller & Ross, 1993 , s. 21

Odkazy

Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Funkční analýza a poloskupiny , Providence, RI: American Mathematical Society .
Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), Úvod do zlomkového počtu a zlomkových diferenciálních rovnic , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica vol. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardon. Zlomkový počet II . University of Cambridge (2000). Archivováno z originálu 17. května 2012. (neurčitý)
Alan Beardon. Zlomkový počet III . University of Cambridge (2000). Archivováno z originálu 17. května 2012. (neurčitý)