Euklidovský prsten

Euclidean prsten je obecný algebraický prsten ve kterém tam je analogie Euclidean algoritmu .

Definice

Euklidovský kruh je oblast integrity , pro kterou je definována euklidovská funkce ( euklidovská norma ) , takže dělení je možné se zbytkem v normě menším než je dělitel, to znamená, že pro jakoukoli existuje reprezentace , pro kterou nebo [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\v R,\, b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r=0$

Další omezení

Často je na euklidovskou normu uloženo další omezení : pro jakoukoli nenulovou hodnotu az kruhu . Pokud je uvedena norma, která nesplňuje tuto podmínku, lze ji opravit předefinováním: $d(a)\leqslant d(ab)$ $A$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

Taková norma vyhovuje požadované nerovnosti, avšak předchozí algoritmus dělení se zbytkem vyžaduje opravu (for a je děleno zbytkem : , kde a , a protože to vyplývá z definice , požadované zobrazení se získá s ). $x\v R$ $d'(b) = d(bx)$ $sekera$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

Taková norma nemá tolik výhod - všechny invertibilní prvky mají stejnou normovou hodnotu a minimum všech (konečných) prvků, vlastní dělitelé prvku mají menší normovou hodnotu a také to zjednodušuje přímý důkaz faktoriálnost euklidovských prstenců (bez odkazu na faktoriálnost hlavních prstenců) .ideály , jejichž důkaz vyžaduje použití transfinitní indukce ). Ale základní vlastnosti euklidovských prstenců zůstávají platné i bez této dodatečné vlastnosti. $A$

Příklady

Prsten celých čísel . Příkladem euklidovské funkce je absolutní hodnota . $\mathbb {Z}$ $|\cdot|$
Okruh Gaussových celých čísel (kde je imaginární jednotka , ) s normou je euklidovský. ${\mathbb {Z}}[i]$ $i$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Libovolné pole je euklidovský kruh s normou rovnou 1 pro všechny prvky kromě 0. $K$
Prstenec polynomů v jedné proměnné nad polem . Příkladem euklidovské funkce je stupeň deg. $K[x]$ $K$
Prstenec formálních mocninných řad nad polem je euklidovský prsten. Normou mocninné řady je číslo prvního nenulového koeficientu v ní. $K[[x]]$ $K$
- Obecněji platí, že jakýkoli místní kruh je euklidovský, pokud je v něm maximální ideál hlavní a průsečík všech jeho mocnin se skládá pouze z nuly. Norma invertibilního prvku je rovna 0, nevratného nenulového jedna - maximální stupeň maximálního ideálu , který daný prvek obsahuje.
Okruh funkcí , které jsou holomorfní na spojené kompaktní množině ( každá z nich musí být holomorfní v nějakém okolí této kompaktní množiny; dvě takové funkce jsou považovány za rovnocenné, pokud se shodují v nějakém okolí množiny ) je také euklidovský. Normou nenulové funkce je počet nul (s přihlédnutím k násobnosti), které nabývá . $H(K)$ $K$ $\mathbb {C}$ $H(K)$ $K$ $K$
Počitatelný průsečík euklidovských prstenců (podkruhů v nějakém prstenci) nemusí být euklidovský prsten (a dokonce ani noetherovský nebo faktoriál ). Například kruh funkcí , které jsou holomorfní na otevřeném kruhu , je průsečíkem euklidovských kruhů funkcí , které jsou holomorfní na uzavřených kruzích obsažených v , ale není ani noetherovský, ani faktoriál, respektive a neeuklidovský. $H(\mathbb D)$ $\mathbb D$ $H(K)$ $K$ $\mathbb D$
Prstenec zlomků euklidovského kruhu multiplikativním systémem je také euklidovský. Norma zlomku z je převzata: $S^{-1}R$ $R$ $S$ $X$ $S^{-1}R$

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\krát S, \, x=u/s\},

kde je euklidovská norma v , a je norma v .

d_R

R

d_S

S^{-1}R

Dělení se zbytkem je definováno takto: nechť jsou dva nenulové zlomky az S −1 R . Podle definice normy v existují prvky v a v takové, že a . Po dělení se zbytkem v kruhu prvků a - , takže se ukáže ; nerovnosti vyplývají ze stavby .

x=r/t

y

S^{-1}R

u

R

s

S

y=u/s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

u

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s) (q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

Prstenec konečných desetinných míst je euklidovský , protože je to okruh podílů kruhu celých čísel . $\mathbb {Z}$
Prsteny racionálních funkcí nad polem s pevnými póly jsou euklidovské , protože takové kruhy jsou kruhy podílů polynomického kruhu . $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Euklidův algoritmus

V euklidovském kruhu implementujeme euklidovský algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel (prvků). Nechť zpočátku dostane dva prvky a , a a . Dělení se zbytkem dává prvek s . Pokud je nenulový, můžete znovu použít dělení se zbytkem, abyste získali prvek a tak dále. Tím se generuje řetězec hodnot s . Tento řetězec je však přerušen, protože jakékoli přirozené číslo může striktně překročit pouze konečný počet jiných přirozených čísel. To znamená, že pro některé je zbytek nula a nerovná se, je to největší společný dělitel prvků a . Proto je v euklidovském kruhu zaručeno ukončení euklidovského algoritmu. Přesně řečeno, implementace euklidovského algoritmu je možná v euklidovských kruzích. $a_{0}$ $a_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \tečky$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\tečky$ $n$ $a_{{n+1}}$ $a_n$ $a_{0}$ $a_{1}$

Vlastnosti euklidovských prstenců

V Euclidean prstenu, každý ideál je hlavní (zvláště, všechny Euclidean prsteny jsou Noetherian ).
- Dovolit být libovolný ideál v euklidovském kruhu. Pokud obsahuje pouze , je to hlavní. Jinak mezi jeho nenulovými prvky je prvek s minimální normou (princip minima pro přirozená čísla). Rozděluje všechny ostatní prvky ideálu: předkládáme-li libovolný prvek ve tvaru c , ukazuje se, že je také prvkem ideálu a musí být nulový, protože jeho norma je menší než y . Ideál je tedy obsažen v ideálu . Na druhé straně každý ideál obsahující prvek obsahuje ideál , což znamená, že je hlavním ideálem. $já$ $0$ $F$ $g \v I$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $já$ $F$ $já$ $(F)$ $F$ $(F)$ $já = (f)$
Každý euklidovský kruh je faktoriál, to znamená, že každý prvek může být reprezentován konečným součinem jednoduchých prvků, a navíc jednoznačně (až do jejich permutace a násobení invertibilními prvky). Faktorialita je společnou vlastností všech hlavních ideálních prstenců .
Každý euklidovský kruh je integrálně uzavřený , to znamená, že pokud zlomek , je kořenem polynomu s nejvyšším koeficientem rovným 1, pak je dělitelný . Integrální uzavřenost je společnou vlastností všech faktoriálních kruhů. $R$ $a/b,\,a,b\v R$ $f\in R[x]$ $A$ $b$

Vlastnosti modulů nad euklidovským prstencem

Nechť je euklidovský prsten. Potom definitivně generované -moduly mají následující vlastnosti: $R$ $R$

Každý submodul konečně generovaného -modulu je konečně generován (důsledek toho, že kruh je noetherovský ). $N$ $R$ $M$ $R$
Hodnost submodulu nepřesahuje hodnost modulu (důsledkem principálnosti ideálů je strukturní teorém pro konečně generované moduly nad doménami hlavních ideálů ). $N$ $M$ $R$
Submodul volného -modulu je také zdarma. $R$
Homomorfismus finitně generovaných -modulů se vždy redukuje na normální formu. To znamená, že existují generátory (základ, pokud je modul volný) modulu N , které tvoří a (základ) modulu M , počet a jsou prvky kruhu takové, které dělí a pro i > k , a pro zbytek - . Koeficienty jsou navíc jednoznačně určeny až do násobení invertibilními prvky prstence . (Skutečnost, že prsten je euklidovský, je přímo zapojena do této vlastnosti .) $A\dvojtečka N\to M$ $R$ $u_1, u_2, \tečky, u_n$ $v_1, v_2, \tečky, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\tečky,a_k$ $R$ $a_{i}$ $a_{i+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\tečky,a_k$ $R$ $R$

Viz také

Poznámky

↑ Kurosh, 1962 , str. 91.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Euclidean Ring at Wolfram MathWorld .
B. L. van der Waerden. Algebra. - Petrohrad. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - M. : Fizmatlit, 1962. - 400 s.
Rodosského K. A. Euklidův algoritmus. - M. : Nauka, 1988. - 239 s.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Moderní počítačová algebra. - Cambridge University Press, 1999. - 771 s. - ISBN 0-521-82646-2 .

Inkluzní diagram některých tříd prstenců
komutativní kruhy ⊃ integrální kruhy ⊃ faktoriální kruhy ⊃ hlavní ideální oblasti ⊃ Eukleidovské kruhy ⊃ pole