Hra jestřábi a holubice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. dubna 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hra jestřábi a holubice je jedním z nejjednodušších modelů teorie her , který popisuje konkurenční vztahy v určité populaci zvířat a vývoj evolučně stabilní strategie .

Pravidla hry

Představte si populaci zvířat, ve které mezi sebou jednotliví jedinci soutěží o nějaký zdroj. V nejjednodušším případě to mohou být pářící turnaje samců o právo pářit se se samicí. Jelikož se páření účastní dva samci, lze turnaj pojmout jako hru dvou účastníků. Předpokládejme, že podle temperamentu se samci dělí do dvou skupin – říkejme jim podmíněně „Holubice“ a „Jestřábi“. Tato jména nesouvisí s konkrétním druhem zvířat, ale jsou chápána v přeneseném smyslu: jestřábi jako symbol agresivity a holubice jako symbol mírumilovnosti. Ve skutečnosti tato jména nemají nic společného s realitou: v přírodě jsou holubi (stejně jako jakákoli jiná zvířata) poměrně agresivní.

Jednotlivci každé skupiny mají následující rysy. Jestřábi vždy bojují o vítězství a ustoupí pouze v případě, že jsou vážně zraněni. Holubi se omezují na vyhrožování a předvádění agresivity, snaží se protivníka psychicky potlačit, ale pokud dojde na skutečný boj, ustoupí.

Pokud tedy holubice bojuje s jestřábem, vítězství připadá jestřábovi, ale ustupující holubice nezíská v boji žádné poškození a v zásadě nic neztratí. Pokud se dva holubi perou, vítězí jeden z nich (ten se silnějšími nervy), žádný se nezraní, ale oba vynaloží energii na dlouhou psychologickou konfrontaci. Pokud se dva jestřábi perou, pak jeden z nich vyhrává a pro druhého boj končí těžkým zraněním.

Matematická formulace

Abychom hru převedli do jazyka matematiky, zhodnoťme výsledky turnaje v podobě konvenčních jednotek (bodů), které účastníci získali nebo ztratili. Vítězství v turnaji (schopnost opustit potomstvo) se hodnotí V = 50 bodů, prohra L = 0 bodů, vážné zranění W = -100 bodů a náklady na energii na dlouhou konfrontaci E = -10. body.

Poté v souboji dvou holubů získá jeden z nich 50 vítězných bodů a navíc oba utratí 10 bodů v procesu dlouhé konfrontace. Za předpokladu, že pravděpodobnost vítězství pro každého je stejná (tj. 0,5), dostaneme, že průměrný zisk holuba v boji s jiným holubem bude S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 bodů.

V souboji dvou jestřábů obdrží každý s pravděpodobností 0,5 zisk 50 bodů a se stejnou pravděpodobností zranění, které jsme odhadli na -100 bodů. Průměrná výhra bude S(I, I) = (50–100)∙0,5 = –25 bodů.

V souboji holubice s jestřábem holubice prohraje a získá S(R, R) = 0 bodů, jestřáb vyhraje a obdrží S(R, R) = 50 bodů.

Výsledky turnaje lze vizualizovat ve formě tzv. výplatní matice:

	Holub	Jestřáb
Holub	patnáct	0
Jestřáb	padesáti	-25

Označme podíl jestřábů v populaci jako z, pak podíl holubů bude 1–z. Jsou-li v souboji náhodně dva samci, pak se s pravděpodobností z 2 jedná o dva jestřáby, s pravděpodobností (1-z) 2 - dvě holubice as pravděpodobností 2z(1-z) - holubice proti jestřábovi.

Pojďme zjistit průměrný počet bodů, které získají soupeři v důsledku boje.

Jestřáb s pravděpodobností z bojuje s jiným jestřábem a získá v průměru -25 bodů as pravděpodobností 1-z bojuje s holubicí a získá 50 bodů. V průměru to tak bude

S I (z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50 – 50z = 50 – 75z.

Podobně pro holubici, kterou dostaneme

S Г (z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15 – 15z.

Grafy těchto rovnic vynesme do souřadnicových os S – z.

Jak můžete vidět z grafu, výherní linie pro holubice a jestřáby se v určitém bodě protínají, definované vztahem: 50 - 75z = 15 - 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583…

Vpravo od tohoto bodu (tedy se zvýšením podílu jestřábů) mají výhodu holubi, takže jejich relativní počet se zvýší, čímž se zmenší. Vlevo od tohoto bodu (s poklesem počtu jestřábů) mají jestřábi výhodu, jejich počet se tedy zvýší, čímž se zvýší z. Jakýkoli posun v z od bodu stejných výnosů pro holubice a jestřáby spouští procesy , které mají tendenci vrátit populaci do bodu rovnováhy. Stav populace odpovídající rovnovážnému bodu se nazývá evolučně stabilní strategie.

Obecné znění

Označme zisk v případě vítězství v turnaji V, prohru L, škodu z těžkého zranění W a energetické náklady dlouhé konfrontace E.

Potom lze prvky výplatní matice vyjádřit následujícími vztahy:

S(D,D)={\frac {VL}{2}}-E;

S(H,H)={\frac {VW}{2));

S(D,H)=-L;

S(H,D)=V.

Výplatní matice bude vypadat takto:

	Holub	Jestřáb
Holub	${\frac {VL}{2}}-E$	$-L$
Jestřáb	$PROTI$	${\frac {VW}{2}}$

Průměrná výplata jestřábů s jejich podílem na populaci z bude

S_{H}(z)={\frac {(VW)z}{2}}+V(1-z)=V-{\frac {(V+W)z}{2}}) ;

a průměrná výplata holubů

S_{D}(z)=-Lz+\left({\frac {VL}{2}}-E\right)(1-z)={\frac {VL}{2}}-E- \left({\frac {V+L}{2}}-E\right)z;

Rovnovážného bodu populace bude dosaženo při následujícím podílu jestřábů:

V-{\frac {(V+W)z}{2}}={\frac {VL}{2}}-E-\left({\frac {V+L}{2}}- E\right)z;

\left({\frac {WL}{2}}+E\right)z={\frac {V+L}{2}}+E;

z={\frac {V+L+2E}{W-L+2E)).

Herní teorie
Základní pojmy	Vzájemná a společná znalost Hráč Hierarchie vír Iracionální zesílení strategie ( dominance ) Reverzní indukce
Typy her	Simultánní , sekvenční a opakující se Nekooperativní a kooperativní S úplnými , neúplnými , dokonalými a nedokonalými informacemi V normální i rozšířené podobě Antagonistický Rozdíl Stochastické Bitva pohlaví Lov na jelena
Koncepce řešení	Riziková dominance Korelovaná rovnováha Rovnováha třesoucí se ruky Nashova rovnováha Dokonalá rovnováha podhry Racionalizovatelnost Sekvenční rovnováha silná rovnováha Vlastní bilance Evolučně stabilní strategie Epsilon-rovnováha Paretova účinnost Jádro
Příklady her	Vězňovo dilema Úkol baru "El Farol" Model Bertrand Cournotův model Stackelbergův model Orlyanka Tragédie sdílených zdrojů jestřábi a holubice
Epistemická teorie her Konstrukce mechanismu Spravedlivé rozdělení