Izomorfismus


Příklad dvou izomorfních grafů. Izomorfismus spojuje vrcholy jednoho grafu s vrcholy jiného grafu stejné barvy: dva vrcholy jsou spojeny hranou v jednom grafu právě tehdy, když jsou vrcholy stejných barev spojeny hranou v jiném grafu.

Izomorfismus (z jiného řeckého ἴσος - stejný, totožný, podobný a μορφή - forma) - vztah mezi matematickými objekty, vyjadřující obecnost jejich struktury; se používá v různých odvětvích matematiky a v každém z nich se určuje v závislosti na strukturálních vlastnostech studovaných objektů. Obvykle se izomorfismus definuje pro množiny obdařené nějakou strukturou , například pro skupiny , kruhy , lineární prostory ; v tomto případě je definována jako invertibilní zobrazení ( bijekce) mezi dvěma množinami se strukturou, která tuto strukturu zachovává, tedy ukazuje, že objekty jsou „stejně uspořádány“ ve smyslu této struktury. Pokud mezi objekty existuje izomorfismus, pak se říká, že jsou izomorfní . Izomorfismus vždy definuje vztah ekvivalence na třídě takových struktur.

Například dva grafy se nazývají izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus: to znamená, že vrcholy jednoho grafu mohou být spojeny s vrcholy jiného grafu, takže spojené vrcholy prvního grafu odpovídají spojeným vrcholům grafu. druhý graf a naopak. Jinými slovy, dva grafy jsou izomorfní, pokud jsou „stejné“ (až do přejmenování vertexu).

Dalším klasickým příkladem izomorfních systémů je množina všech reálných čísel s operací sčítání, která je na ní definována, a množina kladných reálných čísel s operací násobení, která je na ní definována. Zobrazení je v tomto případě izomorfismus. $\mathbb {R}$ ${\mathbb R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

Pojem izomorfismus vznikl v matematice ve vztahu ke skupinám , následně se přenesl do jiných tříd objektů.

Obecná algebra

V obecné algebře je izomorfismus invertibilní zobrazení, které je homomorfismem .

Například pro grupy a bijekci se nazývá izomorfismus if . Pokud jsou grupy topologické , pak se přidá podmínka homeomorfismu odpovídajících topologických prostorů [1] . $G$ $H$ $f\colon G\to H$ $a,\;b\v G$ $f(a)f(b)=f(ab)$

Pro pole a bijekci se nazývá izomorfismus , pokud zachovává obě operace pole, to znamená pro jakoukoli, kterou platí: $F_{1}$ $F_{2}$ $f\colon F_{1}\to F_{2}$ $a,b\in F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

Například kvocientový kruh pro polynomický kruh s reálnými koeficienty modulo the polynom je pole izomorfní [2] k oboru komplexních čísel : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

Pro pole s dodatečnou strukturou ( uspořádaná , topologická pole ) lze přidat podmínku, že bijekce zachová i tyto dodatečné struktury.

Nejobecnější definice izomorfismu je v teorii kategorií : objekty kategorie jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje invertibilní morfismus, to znamená morfismus, pro který existuje morfismus takový, že složení a jsou identické morfismy. Definice kategorie grup, kategorie kruhů, kategorie vektorových prostorů a dalších struktur jsou konstruovány tak, že klasické definice izomorfismu grup, kruhů, vektorových prostorů se shodují s obecnou definicí izomorfismu v kategorii. . Současně se také zavádí pojem izomorfismus kategorie , tedy korespondence jedna ku jedné mezi kategoriemi s invertibilními funktory. $\varphi$ $\varphi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Teorie množin

V teorii množin je jakákoli bijekce izomorfismus.

Například dvě částečně uspořádané množiny jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje bijekce zachovávající řád [3] .

Lineární prostory

Dva lineární prostory a nad stejným polem se nazývají izomorfní , pokud je možné stanovit vzájemnou korespondenci mezi vektory a takovým způsobem, že jsou splněny podmínky [4] : $V'(F)$ $V''(F)$ $F$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

jestliže vektor odpovídá vektoru a vektor odpovídá vektoru , potom vektor odpovídá vektoru . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
jestliže vektor odpovídá vektoru a je prvkem pole , pak vektor odpovídá vektoru . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Normované prostory

Pro normované prostory se zobrazení z jednoho z nich do druhého nazývá izomorfismus normovaného prostoru , pokud je lineární , spojitý a bijektivní , a inverzní zobrazení je také spojité. V tomto smyslu izomorfismus zachovává lineární prostorovou strukturu a topologii , ale nutně nezachovává normu. Pokud izomorfismus zároveň zachovává normu, pak se nazývá izometrický izomorfismus nebo izometrie [5] .

Teorie grafů

Graf se nazývá izomorfní vůči grafu , pokud existuje bijekce z množiny vrcholů grafu do množiny vrcholů grafu , která má následující vlastnost: pokud má graf hranu od vrcholu k vrcholu , pak graf musí mít hranu od vertexu k vertexu a naopak - pokud má graf hranu od vertexu k vertexu , tak graf musí mít hranu od vertexu k vertexu . V případě orientovaného grafu musí tato bijekce také zachovat orientaci hrany. V případě váženého grafu musí bijekce zachovat i váhu hrany. $G$ $H$ $F$ $G$ $H$ $G$ $A$ $B$ $H$ $f(A)$ $f(B)$ $H$ $A$ $B$ $G$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

V teorii výpočetní složitosti je stále otevřená otázka složitosti problému izomorfismu grafu . V tuto chvíli není prokázána ani jeho příslušnost ke třídě, $P$ ani jeho úplnost . $NP$

Související definice

Izomorfismus algebraického systému na sebe se nazývá automorfismus . Množina všech automorfismů nějakého algebraického systému s operací složení a zobrazení identity jako neutrálního prvku tvoří grupu . Skupina automorfismu algebraického systému je označena . Nejjednodušším příkladem automorfismu je množinový automorfismus , tedy permutace prvků této množiny. $K$ $\operatorname {Aut}K$

Jakýkoli prvek skupiny definuje následující automorfismus, který se nazývá vnitřní automorfismus : každý prvek skupiny je spojen se svým konjugovaným prvkem : $G$ $X$ ${\displaystyle gxg^{-1))$

{\displaystyle f(x)=gxg^{-1))

Věty o izomorfismu

Věty o izomorfismu v algebře jsou sérií teorémů týkajících se konceptů faktoru , homomorfismu a vnořeného objektu . Výrok teorémů je izomorfismus nějaké dvojice grup , kruhů , modulů , lineárních prostorů , Lieových algeber nebo jiných algebraických struktur (v závislosti na aplikaci). Obvykle existují tři věty o izomorfismu , nazývané první (také základní věta o homomorfismu ), druhá a třetí. Ačkoli takové teorémy vyplývají docela snadno z definice faktoru a nikdo není nijak zvlášť připisován jejich objevu, má se za to, že nejobecnější formulace dala Emmy Noetherová .

Poznámky

↑ L. S. Pontryagin Spojité skupiny. S. 392
↑ Faddeev D.K. Přednášky o algebře. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Přednášky o matematické logice a teorii algoritmů. Část 1. Počátky teorie množin. strana 48
↑ Shilov G. E. Úvod do teorie lineárních prostorů. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - str. 70
↑ Pjotr Borodin, A. Savčuk, I. Šejpak. Problémy ve funkcionální analýze . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 s. — ISBN 9785040485147 .

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. Petrohrad: Lan, 2004, 624 stran, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontrjagin, Lev Semjonovič . Spojité skupiny. — M .: URSS , 2004. — 520 s. — ISBN 5-354-00957-X .
Izomorfismus - článek z Encyklopedie matematiky . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654