Iracionální číslo

Iracionální čísla ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π a π

Iracionální číslo je reálné číslo , které není racionální , to znamená, že jej nelze reprezentovat jako obyčejný zlomek , kde jsou celá čísla , [1] . Iracionální číslo může být reprezentováno jako nekonečné neopakující se desetinné číslo . ${\frac {m}{n}}$ $m,n$ $n\neq 0$

Jinými slovy, množina iracionálních čísel je rozdíl mezi množinami reálných a racionálních čísel. $\mathbb {I} =\mathbb {R} \zpětné lomítko \mathbb {Q}$

Existenci iracionálních čísel (přesněji segmentů , které jsou nesouměřitelné se segmentem jednotkové délky) znali již starověcí matematici: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, která je ekvivalentem iracionalita čísla [2] . ${\sqrt {2}}$

Iracionálními jsou mimo jiné poměr obvodu k průměru kruhu (číslo π ), základna přirozeného logaritmu e , zlatý řez φ , druhá odmocnina ze dvou [3] [4] [5] . Všechny odmocniny přirozených čísel, kromě dokonalých čtverců , jsou iracionální.

Iracionální čísla mohou být také viděna v podmínkách nekonečných zlomků . Důsledkem Cantorova důkazu je, že reálná čísla nejsou spočetná , ale racionální čísla jsou spočetná, z toho plyne, že téměř všechna reálná čísla jsou iracionální [6] .

Vlastnosti

Součet dvou kladných iracionálních čísel může být racionální číslo.
Iracionální čísla definují Dedekindovy úseky v množině racionálních čísel, která nemají největší číslo v nižší třídě a žádné nejmenší číslo v horní.
Množina iracionálních čísel je na reálné čáře všude hustá: mezi jakýmikoli dvěma různými čísly je iracionální číslo.

Algebraická a transcendentální čísla

Každé iracionální číslo je buď algebraické nebo transcendentální . Množina algebraických čísel je spočetná množina . Protože množina reálných čísel je nepočitatelná, je nepočitatelná i množina iracionálních čísel.

Každé skutečné transcendentální číslo je iracionální; Algebraické číslo může být buď racionální, nebo iracionální.

Množina iracionálních čísel je množinou druhé kategorie [7] .

Iracionální čísla a pokračující zlomky

Iracionální číslo je reprezentováno nekonečným zlomkem . Příklad, číslo e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].

Kvadratické iracionality odpovídají periodickým pokračovacím zlomkům.

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\tečky ].

Příklady

Iracionální jsou:

${\sqrt {n}}$ pro všechny přírodní , které nejsou dokonalým čtvercem $n$
Číslo $E$ a také pro jakékoli racionální $e^{x}$ $x\neq 0$
$\ln x$ pro jakékoli pozitivní racionální $x\neq 1$
Číslo $\pi$ a také pro jakékoli racionální $\pi ^{x}$ $x \ne 0$

Příklady důkazů iracionality

Kořen 2

Předpokládejme opak: je racionální , to znamená, že je reprezentován jako zlomek , kde je celé číslo a je přirozené číslo . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

V kanonickém rozšíření levé strany rovnosti vstupuje číslo v sudém stupni a v rozšíření - v lichém. Proto je rovnost nemožná. Původní předpoklad byl tedy chybný a jedná se o iracionální číslo. $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Binární logaritmus čísla 3

Předpokládejme opak: je racionální , to znamená, že je reprezentován jako zlomek , kde a jsou celá čísla . Od , a lze brát pozitivně. Pak $\log _{2}3$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\log _{2}3>0$ $m$ $n$

\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2 }3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}

Ale sudá a pravá strana výsledné rovnosti je lichá. Dostáváme rozpor. $2^{m}$

e

Viz část "Důkaz iracionality" v článku "e" .

Historie

Starověk

Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manawa (asi 750–690 př. n. l.) zjistil, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit. .

První důkaz existence iracionálních čísel, či spíše existence nesouměřitelných segmentů, je obvykle připisován pythagorejskému Hippasovi z Metapontu (přibližně 470 př. n. l.) [8] . Neexistují žádné přesné údaje o iracionalitě toho kterého počtu Hippasus dokázal. Podle legendy jej našel při studiu délek stran pentagramu [9] [10] . Proto je rozumné předpokládat, že se jednalo o zlatý řez , protože jde o poměr úhlopříčky ke straně v pravidelném pětiúhelníku.

Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos (nevyjádřitelný), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, což popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry. " Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.

Feodor Kirensky dokázal [11] iracionalitu kořenů přirozených čísel do 17 (samozřejmě s vyloučením přesných čtverců - 1, 4, 9 a 16), ale zastavil se u toho, protože algebra dostupná v jeho sadě nástrojů neumožňovala dokazování iracionalita druhé odmocniny ze 17. Co se týče toho, jaký mohl být tento důkaz, historikové matematiky učinili několik různých dohadů. Podle nejpravděpodobnějšího [12] návrhu Jeana Itarda byl založen na teorému, že liché čtvercové číslo je dělitelné osmi se zbytkem jedna [13] .

Později Eudoxus z Knidu (410 nebo 408 př. n. l. - 355 nebo 347 př. n. l.) vypracoval teorii proporcí, která brala v úvahu racionální i iracionální vztahy. To posloužilo jako základ pro pochopení základní podstaty iracionálních čísel. Hodnota začala být považována nikoli za číslo, ale za označení entit, jako jsou úsečky, úhly, plochy, objemy, časové intervaly – entity, které se mohou plynule měnit (v moderním slova smyslu). Hodnoty byly proti číslům, která se mohou měnit pouze „přeskakováním“ z jednoho čísla na další, například ze 4 na 5 [14] . Čísla jsou tvořena nejmenší nedělitelnou veličinou, přičemž množství lze neomezeně zmenšovat.

Protože žádná kvantitativní hodnota nebyla srovnávána s kvantitou, Eudoxus byl schopen pokrýt souměřitelná i nesouměřitelná množství tím, že definoval zlomek jako poměr dvou veličin a poměr jako rovnost dvou zlomků. Odstraněním kvantitativních hodnot (čísel) z rovnic se vyhnul pasti nutnosti nazývat iracionální veličinu číslem. Teorie Eudoxus umožnila řeckým matematikům udělat neuvěřitelný pokrok v geometrii a poskytla jim nezbytné zdůvodnění pro práci s nesouměřitelnými veličinami [15] . Desátá kniha „ Počátky “ od Euklida je věnována klasifikaci iracionálních veličin.

Středověk

Středověk byl poznamenán přijetím takových pojmů jako nula, záporná čísla, celá a zlomková čísla, nejprve indickými, poté čínskými matematiky. Později se přidali arabští matematici, kteří jako první považovali záporná čísla za algebraické objekty (spolu se stejnými právy s kladnými čísly), což umožnilo rozvoj disciplíny dnes zvané algebra.

Arabští matematici spojili starověké řecké pojmy „číslo“ a „hodnota“ do jediné, obecnější představy o reálných číslech. Kritizovali Euklidovy představy o relacích, na rozdíl od nich rozvinuli teorii vztahů libovolných veličin a rozšířili pojem čísla na vztahy spojitých veličin. Perský matematik al-Mahani (kolem roku 800 n. l.) ve svých komentářích ke knize 10 Euklidových prvků zkoumal a klasifikoval kvadratická iracionální čísla a obecnější kubická iracionální čísla. Podal definici racionálních a iracionálních veličin, které nazval iracionálními čísly. S těmito objekty snadno operoval, ale uvažoval jako samostatné objekty, například [16] :

Racionální [hodnota] je například 10, 12, 3 %, 6 % atd., protože tyto hodnoty jsou vyslovovány a vyjádřeny kvantitativně. Co není racionální, je iracionální a je nemožné vyslovit nebo kvantifikovat odpovídající hodnotu. Například odmocniny čísel jako 10, 15, 20 nejsou druhé mocniny.

Na rozdíl od Euklidova pojetí, že veličiny jsou primárně úsečky, Al Mahani považoval celá čísla a zlomky za racionální veličiny a odmocniny a krychlové odmocniny za iracionální. Zavedl také aritmetický přístup k množině iracionálních čísel, protože to byl on, kdo ukázal iracionalitu následujících veličin [16] :

výsledek sčítání iracionálního množství a racionálního, výsledek odečítání racionálního množství od iracionálního, výsledek odečítání iracionálního množství od racionálního.

Egyptský matematik Abu Kamil (asi 850 nl - asi 930 nl) byl první, kdo shledal, že je přijatelné rozpoznávat iracionální čísla jako řešení kvadratických rovnic nebo jako koeficienty v rovnicích - většinou ve formě druhých mocnin nebo kubických odmocnin. jako kořeny čtvrtého stupně [17] . V 10. století poskytl irácký matematik Al-Hashimi obecné důkazy (spíše než vizuální geometrické demonstrace) iracionality součinu, kvocientu a výsledků jiných matematických transformací iracionálních a racionálních čísel [18] . Al-Khazin (900 CE - 971 CE) uvádí následující definici racionálního a iracionálního množství [19] :

Nechť je jedna hodnota obsažena v dané hodnotě jednou nebo vícekrát, pak tato [daná] hodnota odpovídá celému číslu... Každá hodnota, která je poloviční, nebo třetinová, nebo čtvrtinová jedné hodnoty, nebo ve srovnání s jediná hodnota, jsou tři pětiny této racionální hodnoty. A obecně platí, že jakákoli veličina, která souvisí s jednotkou jako jedno číslo s druhým, je racionální. Pokud hodnotu nelze reprezentovat jako několik nebo část (l / n), nebo několik částí (m / n) jednotkové délky, je iracionální, tedy nevyjádřitelná s výjimkou odmocnin.

Mnohé z těchto myšlenek později převzali evropští matematici po překladu arabských textů do latiny ve 12. století. Al Hassar, arabský matematik z Maghrebu, který se specializoval na islámská dědická práva, zavedl ve 12. století moderní symbolický matematický zápis zlomků, oddělující čitatel a jmenovatel vodorovnou čárou [20] . Stejný zápis se pak objevil v dílech Fibonacciho ve třináctém století [21] . Během XIV-XVI století. Madhava ze Sangamagrama a zástupci Kerala School of Astronomy and Mathematics zkoumali nekonečné řady konvergující k některým iracionálním číslům, například k , a také ukázali iracionalitu některých hodnot goniometrických funkcí. Jestadeva oznámil tyto výsledky v knize Yuktibhaza. $\pi$

Nový čas

V 17.-18. století byla komplexní čísla pevně zavedena v matematice , k jejichž studiu přispěli Abraham de Moivre (1667-1754) a Leonard Euler (1707-1783). Když se teorie komplexních čísel v 19. století uzavřela a vyjasnila, bylo možné klasifikovat iracionální čísla na algebraická a transcendentální (zatímco se prokázala existence transcendentálních čísel), čímž se přehodnotila Euklidova práce na klasifikaci iracionálních čísel. V roce 1872 byla na toto téma publikována díla Weierstrasse , Heineho , Cantora a Dedekinda . Ačkoli již v roce 1869 začal Meret úvahy podobné pracím Heineho, je to rok 1872, který je považován za rok zrodu této teorie. Weierstrassovu metodu plně objasnil Salvatore Pinkerle v roce 1880 [22] a Dedekind získal další slávu díky pozdější práci autora (1888) a podpoře Paula Tanneryho (1894). Weierstrass, Cantor a Heine zdůvodňovali své teorie nekonečnými řadami, zatímco Dedekind pracoval s (nyní tzv.) Dedekindovými úseky množiny reálných čísel, kdy všechna racionální čísla rozděloval na dvě množiny s určitými charakteristickými vlastnostmi.

Pokračovací zlomky , úzce související s iracionálními čísly (pokračovací zlomek představující dané číslo je nekonečný právě tehdy, když je číslo iracionální), poprvé prozkoumal Cataldi v roce 1613, poté znovu přitáhl pozornost v dílech Eulera a na počátku XIX století - v dílech Lagrange . Dirichlet také významně přispěl k rozvoji teorie spojitých zlomků. V 1761, používat pokračující zlomky, Lambert ukázal, že to není racionální číslo, a také to a být iracionální pro nějaké nenulové racionální [23] . I když lze Lambertův důkaz nazvat neúplným, je obecně považován za docela pečlivý, zvláště vzhledem k době, kdy byl napsán. Legendre v roce 1794, po zavedení Bessel-Cliffordovy funkce , ukázal, že iracionální, odkud iracionalita triviálně následuje (racionální číslo na druhou by dalo racionální číslo). $\pi$ $e^{x}$ $\operatorname {tg}x$ $X$ $\pi ^{2}$ $\pi$

Existenci transcendentálních čísel dokázal Liouville v letech 1844-1851. Později Georg Cantor (1873) ukázal jejich existenci jinou metodou a dokázal, že jakýkoli interval reálné řady obsahuje nekonečně mnoho transcendentálních čísel. Charles Hermite dokázal v roce 1873, že e je transcendentní, a Ferdinand Lindemann v roce 1882 na základě tohoto výsledku ukázal transcendenci . Lindemannův důkaz pak zjednodušil Weierstrass v roce 1885, dále jej zjednodušil David Hilbert v roce 1893 a nakonec jej na téměř elementární úroveň přivedli Adolf Hurwitz a Paul Gordan [24] . $\pi$

Viz také

Poznámky

↑ Racionální číslo // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
↑ Historie, 1970 , svazek 1, str. 73.
↑ 15 nejslavnějších transcendentálních čísel archivováno 24. října 2007 na Wayback Machine . od Clifforda A. Pickovera . URL načteno 24. října 2007.
↑ Iracionální čísla archivována 29. srpna 2010 na Wayback Machine // mathsisfun.com; URL načteno 24. října 2007.
↑ Weisstein, Eric W. Irrational Number na webu Wolfram MathWorld . URL načteno 26. října 2007.
↑ Cantor, Georg. Příspěvky k založení teorie transfinitních čísel / Philip Jourdain. - New York: Dover, 1955. - ISBN 978-0-486-60045-1 .
↑ Ilyin, Sadovnichy, Sendov, 2006 , s. 64.
↑ Kurt von Fritz, 1945 .
↑ James R. Choike. Pentagram a objev iracionálního čísla // The Two-Year College Mathematics Journal :časopis. — 1980.
↑ Kurt von Fritz, 1945 , s. 242-264.
↑ Historie, 1970 , T 1. Od starověku do počátku New Age, str. 74.
↑ A. I. Ščetnikov. Jak starověcí řečtí matematici dokázali iracionalitu. Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
↑ Jean Itard. Les livres arithmétiques d'Euclide . — Paříž: Hermann, 1961. Archivováno 22. listopadu 2015 na Wayback Machine
↑ Kline 1990, s.48.
↑ Kline 1990, s.49.
↑ 1 2 Matvievskaya, 1987 , s. 253–277 [259].
↑ Jacques Sesiano, "Islámská matematika", s. 148, v Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Matematika napříč kulturami: Historie nezápadní matematiky (anglicky) . - Springer , 2000. - ISBN 1-4020-0260-2 . .
↑ Matvievskaya, 1987 , s. 253–277 [260].
↑ Matvievskaya, 1987 , s. 253–277 [261].
↑ Cajori, Florian (1928), Historie matematických notací (1. díl) , La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company str. 269.
↑ ( Cajori 1928 , str. 89)
↑ Salvatore Pincherle. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass (italsky) // Giornale di Matematiche: diario. - 1880. - S. 178-254,317-320 .
↑ JH Lambert. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logaritmiques (francouzsky) // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin: časopis. - 1761. - S. 265-322 . Archivováno z originálu 28. dubna 2016.
↑ Gordon, Paul. Transcendenz von e und π // Mathematische Annalen . - Teubner, 1893. - T. 43 . - S. 222-224 . - doi : 10.1007/bf01443647 .

Literatura

V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla//Matematická analýza/Ed. A. N. Tichonova . -3. vyd. , revidováno a doplňkové -M.: Prospekt, 2006. - T. 1. - 672 s. —ISBN 5-482-00445-7.
Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století. Ve třech svazcích / ed. Juškevič. — M .: Nauka, 1970.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Původní dílo vydáno 1972).
Matvievskaya, Galina. Teorie kvadratických iracionálních ve středověké orientální matematice // Annals of the New York Academy of Sciences : deník. - 1987. - Sv. 500 _ - doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x .
Kurt von Fritz. The Discovery of Incommensurability Hippasem z Metaponta (anglicky) // The Annals of Mathematics : journal. — 1945.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4162426-9 J9U : 987007538749205171 LCCN : sh85093213 NKC : ph812800

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický