Kategorie abelovských grup (označovaných Ab ) je kategorie, jejíž objekty jsou abelovské grupy a jejíž morfismy jsou skupinové homomorfismy . Je prototypem kategorie Abelian . [1] , ve skutečnosti může být do Ab vnořena jakákoli malá abelovská kategorie [2] .
Ab je kompletní podkategorie Grp ( kategorie všech skupin ). Hlavní rozdíl mezi Ab a Grp je v tom, že součet dvou homomorfismů abelovských grup je opět homomorfismus:
( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )Třetí rovnost vyžaduje komutativitu sčítání. Přidání morfismů dělá Ab předaditivní kategorii , a protože konečný přímý součet Abelových grup je biprodukt , vyplývá z toho, že Ab je aditivní kategorie .
V Ab je pojem jádra v kategorickém smyslu stejný jako pojem jádra v algebraickém smyslu , totéž platí pro kokernel . (Klíčový rozdíl mezi Ab a Grp je v tom, že f ( A ) nemusí být normální podskupina v Grp , takže kvocientová skupina B / f ( A ) nemůže být vždy definována.) Vzhledem ke specifickým popisům jádra a kokerulu je snadné zkontrolovat, zda je tato Ab ve skutečnosti abelovská kategorie .
Objekt Ab je injektivní právě tehdy, když je skupina dělitelná ; je projektivní právě tehdy, když je skupina volná.
Vzhledem ke dvěma abelovským skupinám A a B lze definovat jejich tenzorový součin A ⊗ B ; jde opět o abelovskou skupinu, což z Ab dělá monoidní kategorii .
Ab není kartézský uzavřený , protože exponenciály v něm nejsou vždy definovány .