Kvadratická iracionalita

Kvadratická iracionalita je iracionální číslo , které je skutečným kořenem nějaké kvadratické rovnice s racionálními koeficienty (nebo, což je totéž, skutečným kořenem polynomu 2. stupně s racionálními koeficienty [1] ). Z hlediska zdrojů jsou kvadratické iracionality chápány v obecném případě jako komplexní kořeny naznačených rovnic. $ax^{2}+bx+c=0$ $a,b,c$ $ax^{2}+bx+c$

Iracionalita čísla znamená, že nemůže být reprezentováno jako racionální číslo (zlomek). Z toho vyplývá, že polynom je v oboru racionálních čísel ireducibilní , to znamená, že se v tomto oboru nerozkládá na faktory prvního stupně [1] . $X$ $ax^{2}+bx+c=0$ $\mathbb {Q} ,$

Algebraické vlastnosti

Řešení kvadratické rovnice dává vzorec: $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a)),

kde ( diskriminant rovnice). Realita kořene znamená, že proto má jakákoli kvadratická iracionalita tvar: $D=b^{2}-4ac$ $D\geqslant 0.$

x=u+v{\sqrt {D)),

kde jsou racionální čísla a , a radikální výraz je nezáporný a není dokonalou druhou mocninou racionálního čísla [2] . $u,v,D$ $v\neq 0$ $D$

Příklady: . $11-{\sqrt {2));\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Z definice vyplývá, že kvadratické iracionality jsou algebraická čísla druhého stupně. Všimněte si, že inverzní prvek for je také kvadratická iracionalita: $x=u+v{\sqrt {D))$

{1 \over u+v{\sqrt {D}}}={uv{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.

Číslo se nazývá konjugované pro Existují vzorce: $x'=uv{\sqrt {D))$ $x=u+v{\sqrt {D}).$

(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\ frac {1}{x'}}.

Kanonický formát

Bez ztráty obecnosti lze rovnici zjednodušit následovně. $ax^{2}+bx+c=0$

Koeficienty uvažované rovnice 2. stupně lze vytvořit jako celá čísla , protože je snadné se zbavit jmenovatelů zlomků vynásobením obou stran rovnice nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů. Diskriminant se pak také stane celým číslem. $D$
Pokud je vedoucí koeficient , vynásobte rovnici číslem . $a<0,$ $-jeden$
Nakonec výslednou rovnici vydělíme největším společným dělitelem gcd . $ax^{2}+bx+c=0$ $(a,b,c)$

V důsledku toho získáme rovnici s koprimovanými celočíselnými koeficienty a vedoucí koeficient je kladný [3] . Tato rovnice jednoznačně souvisí s dvojicí jejích kořenů a množina takových rovnic je spočetná . Proto je spočetná i množina kvadratických iracionalit. $ax^{2}+bx+c=0$

Často je vhodné provést ještě jednu úpravu v kořenovém výrazu : jsou-li v kanonickém rozkladu zahrnuty nějaké čtverce , vyjmeme je ze znaménka radikálu, takže zbývající hodnota bude bez čtverců . $x=u+v{\sqrt {D)),$ $D$ $D$

Kvadratická pole

Součet, rozdíl a součin kvadratických iracionálních se stejným diskriminantem mají buď stejný formát, nebo jsou racionálními čísly, takže dohromady tvoří pole , které je normálním rozšířením druhé mocniny pole racionálního čísla ℚ . Toto pole se označuje a nazývá se kvadratické pole . Jakékoli takové rozšíření lze získat popsaným způsobem. Galoisova grupa rozšíření kromě identického automorfismu obsahuje zobrazení iracionálního čísla do jeho konjugátu (ve výše uvedeném smyslu) [4] . $D$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $\mathbb {Q}$

Předpokládejme, že, jak je popsáno výše, je celé číslo bez čtverců . Poté se pro různé hodnoty získají různá kvadratická pole [5] . $D$ $D$

Pro kvadratické pole můžete sestrojit jeho kruh celých čísel , tedy množinu kořenů redukovaných polynomů s celočíselnými koeficienty, jejichž vodicí koeficient je 1. Pole bez čtverce nemůže být dělitelné 4, takže existují dva případy [ 4] v závislosti na tom, který zbytek dává při dělení 4. $D$ $D$

Pokud má tvar, pak celočíselné prvky jsou čísla ve tvaru , kde jsou přirozená čísla. $D$ $4k+1,$ $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $m,n$
If má tvar nebo pak celočíselné prvky jsou čísla ve tvaru , kde jsou přirozená čísla. $D$ $4k+2$ $4k+3,$ $m+n{\sqrt {D}}$ $m,n$

Spojení s pokračujícími zlomky

Reálné kvadratické iracionality souvisí se spojitými zlomky pomocí Lagrangeovy věty (někdy nazývané Eulerova-Lagrangeova věta ) [6] :

Reálné číslo je kvadratická iracionalita právě tehdy, když se rozloží na nekonečný periodický pokračující zlomek.

Příklad:

{\sqrt {3}}=1,732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]

Pokračovací zlomek, jehož perioda začíná od prvního odkazu, se nazývá čistě periodický . Evarist Galois v roce 1828 dokázal, že pokračovací zlomek pro kvadratickou iracionalitu je čistě periodický tehdy a jen tehdy , a konjugovaná iracionalita leží v intervalu . Dokázal také, že v případě čistě periodického rozkladu má konjugovaná kvadratická iracionalita stejné vazby, ale uspořádané v obráceném pořadí [7] . $X$ $x>1$ $X'$ $(-1;0)$

Generalizace

Kvadratická iracionalita je speciálním případem "iracionality t. stupně", která je kořenem polynomu t. stupně, neredukovatelného v poli , s celočíselnými koeficienty. Racionální čísla jsou získána, když a kvadratické iracionality odpovídají případu $n$ $\mathbb {Q}$ $n$ $n=1,$ $n=2.$

Některé zdroje zahrnují mezi kvadratické iracionality i komplexní kořeny kvadratických rovnic (například Gaussova celá čísla nebo Eisensteinova čísla ).

G. F. Voronoi ve svém díle „O algebraických celých číslech závislých na kořeni rovnice 3. stupně“ (1894) rozšířil teorii (včetně spojitých zlomků) na případ kubických iracionalit.

Historie

Theodore z Kyrény a jeho žák Theaetetus z Athén (4. století př. n. l.) byli první, kdo dokázali, že pokud číslo není dokonalý čtverec , pak to není racionální číslo, to znamená, že jej nelze přesně vyjádřit jako zlomek. Tento důkaz se opíral o „ Euklidovo lemma “. Euclid věnoval desátou knihu jeho Principia k těmto otázkám ; on, jako soudobé zdroje, používal základní teorém aritmetiky . $N$ ${\sqrt {N}}$

Poznámky

↑ 1 2 Kvadratická iracionalita // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Galochkin A. I. Kvadratická iracionalita // Matematická encyklopedie (v 5 dílech). - M .: Sovětská encyklopedie , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , s. 207.
↑ 1 2 Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. - M .: Mir, 1987. - S. 230-232. — 428 s.
↑ Bukhshtab A.A., 2015 , str. 149-150.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , s. 208-209.
↑ Davenport G. Vyšší aritmetika . - M .: Nauka, 1965. - S. 100 .

Literatura

Bukhshtab A. A. Kvadratické iracionality a periodické pokračující zlomky // Teorie čísel. - 4. vyd. - M. : Lan, 2015. - 384 s. - ISBN 978-5-8114-0847-4 .
Nesterenko Yu. V. Teorie čísel: učebnice pro studenty. vyšší učebnice provozoven. - M . : Vydavatelské centrum "Akademie", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Khinchin A. Ya. Pokračovací zlomky . — M .: GIFML, 1960.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Pokračování kalkulátoru zlomků pro kvadratické iracionální údaje Archivováno 18. února 2020 na Wayback Machine
Důkaz, že e není kvadratická iracionální

Algebraická čísla
Odrůdy	Algebraická celá čísla Čebyševské uzly Konstruktivní čísla Ejzenštejnův celek Gaussova celá čísla Kummer prsten Perronova čísla Pisot-Vijayaraghavan čísla Kvadratická iracionalita ℚ Kořeny z jednoty Salem čísla
Charakteristický	Conwayova konstanta 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2