Druhá odmocnina z 5

Iracionální čísla ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π a π
Notový zápis	Odhadovaný počet √ 5
Desetinný	2,23606797749978969…
Binární	10.0011110001101111…
duodecimální	2.29BB1325405891918…
Hexadecimální	2.3C6EF372FE94F82C…
Sexuální	2;14 09 50 40 59 18 …
Racionální aproximace	7/3 ; _ _ 9/4 ; _ _ 20/9 ; _ _ 29/13 ; _ _ 38/17 ; _ _ 123/55 ; _ _ 161/72 ; _ _ 360/161 ; _ _ 521/233 ; _ _ 682/305 ; _ _ 2207/987 ; _ _ 2889 / 1292 (uvedeno v pořadí podle zvyšující se přesnosti)
Pokračující zlomek	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots ))))))))))$

2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043896 8706113566 0045757139 9565955669 5691756457 8221952500 0605392312 3400500928 6764875529 7220567662 5366607448 5853505262 3306784946 3342224231 7637277026 6324076801 0444331582 5733505893 0981362263 4319868647 1946989970 1808189524 2644596203 4522141192 2329125981 9632581110 4170495807 0481204034 5599494350 6855551855 5725123886 4165501026 2436312571 0244496187 8942468290 3404474716 1154557232 0173767659 0460918529 57560357 79 8439805415 5380779064 3936397230 2875606299 9482213852 1773485924 5351512104 6345555047 87072

Prvních 1000 znaků hodnoty je √ 5 [1] .

Druhá odmocnina z 5 je kladné reálné číslo, které po vynásobení samo sebou dává 5 . Je to iracionální a algebraické číslo [2] .

Zaokrouhlená hodnota 2,236 je správná s přesností 0,01 %. Počítačově vypočítaná přesnost je minimálně 1 000 000 znaků [3] .

Lze vyjádřit jako pokračující zlomek [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...], postupně se jedná o zlomky:

{\color {OliveGreen}{\frac {2}{1))},{\frac {7}{3)),{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4))},{\frac {20}{9)),{\frac {29}{13)),{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17))},{\frac {123}{55)),{\ barva {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682} {305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\tečky

Prostřednictvím nekonečného vnořeného radikálu: $\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...)))}}}\tečky$

Babylonská metoda

Výpočet kořene , počínaje , kde : $5$ $r_{0}=2$ $r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n)))){2))$

{\frac {2}{1}}=2,0,\quad {\frac {9}{4}}=2,25,\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\tečky ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots

Zlatý řez

Zlatý řez je aritmetický průměr z 1 a odmocnina z 5 [4] . ( ) lze algebraicky vyjádřit takto: $\Phi$ $\varphi =1/\Phi$

{\sqrt {5}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Fibonacciho čísla lze vyjádřit pomocí druhé odmocniny z 5 takto:

F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n)) \over {\sqrt {5))}.

Poměr √5 k a naopak dává zajímavé závislosti spojitých zlomků s Fibonacciho čísly a Lucasovými čísly [5] : $\Phi$

{\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}= 1,3819660112501051518\tečky =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\tečky ]

{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt { 5}}}{10}}=0,72360679774997896964\tečky =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\tečky ].

{1,{\frac {3}{2)),{\frac {4}{3)),{\frac {7}{5)),{\frac {11}{8)),{\frac {18}{13)),{\frac {29}{21)),{\frac {47}{34)),{\frac {76}{55)),{\frac {123}{89} }},\tečky \tečky [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\tečky ]

{1,{\frac {2}{3)),{\frac {3}{4)),{\frac {5}{7)),{\frac {8}{11)),{\frac {13}{18)),{\frac {21}{29)),{\frac {34}{47)),{\frac {55}{76)),{\frac {89}{123} }},\tečky \tečky [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\tečky ].

Algebra

Kruh obsahuje čísla ve tvaru , kde a a b jsou celá čísla a je imaginárním číslem . Tento kruh je příkladem domény integrity , která není faktoriálním kruhem . $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ $a\,+\,b{\sqrt {-5}}$ ${\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}$

Číslo 6 je v tomto prstenu znázorněno dvěma způsoby:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5)))(1+{\sqrt {-5))).

Pole je abelovské rozšíření racionálních čísel. $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$

Kronecker-Weberova věta říká, že kořen 5 lze vyjádřit jako lineární kombinaci kořenů jednoty :

{\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.

Ramanujanovy identity

Kořen 5 se objevuje v souboru Ramanujanových identit s pokračujícími zlomky [6] [7] .

Například případ Rogers-Ramanujan pokračující zlomky:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi }}}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi }}}{1+{\cfrac {e ^{{-6\pi }}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}} }-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi /5}}=e^{{2\pi /5}}\left({ \sqrt {\varphi {\sqrt {5))))-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi {\sqrt {5))))}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi {\sqrt { 5}}}}}{1+{\cfrac {e^{{-6\pi {\sqrt {5}}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{ \sqrt {5}} \přes 1+\left[5^{{3/4}}(\varphi -1)^{{5/2}}-1\right]^{{1/5}}} -\varphi \right)e^{{2\pi /{\sqrt {5))))

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{{-x{\sqrt {5}}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1 +{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}} {1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }})))))))))))))))).

Důkaz iracionality

Dokažme, že číslo je iracionální číslo. Prokážeme protikladem. Předpokládejme, že číslo lze reprezentovat jako neredukovatelný zlomek , kde je celé číslo a je přirozené číslo: ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {5}}$ ${\frac {n}{m))$ $m$ $n$

{\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2} =n^{2}

$n^{2}$ je dělitelné , což znamená, že je také dělitelné ; proto je dělitelné , a proto je také dělitelné . To znamená, že zlomek lze zmenšit, a to je v rozporu s původním tvrzením. Původní tvrzení bylo tedy nepravdivé a jde o iracionální číslo. $5$ $n$ $5$ $n^{2}$ $25$ $m$ $m^{2}$ $5$ ${\sqrt {5}}$

Viz také

Poznámky

↑ Druhá odmocnina z pěti . Datum přístupu: 15. února 2015. Archivováno z originálu 11. září 2015. (neurčitý)
↑ Dauben, Joseph W. (červen 1983) Scientific American Georg Cantor a počátky teorie transfinitních množin. Svazek 248; Strana 122.
↑ R. Nemiroff a J. Bonnell: Prvních 1 milion číslic odmocniny z 5 Archivováno 5. ledna 2011 na Wayback Machine
↑ Browne, Malcolm W. (30. července 1985) Záhadné krystaly New York Times vrhají vědce do nejistoty. Sekce: C; Strana 1. (Poznámka - toto je široce citovaný článek).
↑ Richard K. Guy : „Silný zákon malých čísel“. American Mathematical Monthly , sv. 95, 1988, str. 675-712
↑ Ramanathan, KG (1984), On the Rogers-Ramanujan pokračující zlomek , Indická akademie věd. Sborník. Matematické vědy T. 93 (2): 67-77 , MR : 813071 , ISSN 0253-4142
↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions , < http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html > Archivováno 24. ledna 2011 na Wayback Machine na MathWorld

Odkazy

Důkaz , že druhá odmocnina z 5 je iracionální ( downlink )
Theodorus' Constant Archived 18. března 2020 na Wayback Machine na MathWorld

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický