Kvantový harmonický oscilátor

Kvantový harmonický oscilátor je fyzikální model v kvantové mechanice , což je parabolická potenciálová jáma pro částici o hmotnosti a je analogem jednoduchého harmonického oscilátoru . Při analýze chování tohoto systému neuvažujeme síly působící na částici, ale hamiltonián , tedy celkovou energii oscilátoru, a předpokládá se, že potenciální energie je kvadraticky závislá na souřadnicích. Zohlednění následujících pojmů při expanzi potenciální energie podél souřadnic vede ke koncepci anharmonického oscilátoru . $m$

Problém harmonického oscilátoru v reprezentaci souřadnic

Hamiltonián kvantového oscilátoru o hmotnosti m, jehož vlastní frekvence je ω, vypadá takto:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

V souřadnicovém zastoupení , . Problém hledání energetických hladin harmonického oscilátoru se redukuje na nalezení takových čísel E , pro která platí parciální diferenciální rovnice ${\hat p}=-i\hbar \částečné /\částečné x$ ${\hat q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

má řešení ve třídě čtvercových integrovatelných funkcí .

Pro $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

řešení vypadá takto:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ vlevo ({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\vpravo),

funkce jsou Hermitovy polynomy : $H_n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Tento rozsah hodnot E si zaslouží pozornost ze dvou důvodů: za prvé, energetické hladiny jsou diskrétní a rovnoměrně rozmístěné (ekvidistantní) , to znamená, že rozdíl v energii mezi dvěma sousedními hladinami je konstantní a roven ; za druhé, nejmenší energetická hodnota je . Tato úroveň se nazývá hlavní , vakuová nebo úroveň nulových oscilací . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Operátoři vytváření a ničení

Je mnohem snazší získat spektrum harmonického oscilátoru pomocí vzájemně konjugovaných operátorů vytvoření a anihilace .

Operátor narození je , operátor anihilace je , jejich komutátor se rovná ${\hat {a}}^{+}$ ${\hat {a}}$

[{\hat {a)),{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p)))=1

Pomocí operátorů vytvoření a anihilace lze hamiltonián kvantového oscilátoru zapsat v kompaktní formě:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)

kde je operátor čísla úrovně (vyplňovací čísla). Vlastní vektory takového Hamiltoniánu jsou Fockovy stavy a znázornění řešení problému v této podobě se nazývá „zobrazení počtu částic“. ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

Anharmonický oscilátor

Anharmonickým oscilátorem se rozumí oscilátor s nekvadratickou závislostí potenciální energie na souřadnici. Nejjednodušší aproximací anharmonického oscilátoru je aproximace potenciální energie až do třetího členu v Taylorově řadě :

{\hat {H}}={{\klobouček {p}}^{2} \přes 2 m}+{1 \přes 2}m\omega ^{2}{\klobouk {q}}^{ 2}+\lambda {\hat {q}}^{3}

Přesné řešení problému energetického spektra takového oscilátoru je dosti pracné, nicméně je možné vypočítat korekce na energii, pokud předpokládáme, že kubický člen je ve srovnání s kvadratickým malý, a použijeme poruchu teorie .

V reprezentaci operátorů stvoření a anihilace (druhá kvantizační reprezentace) je kubický člen roven

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3 }.

Tento operátor má nulové diagonální prvky, a proto chybí první korekce teorie poruch. Druhá korekce na energii libovolného nevakuového stavu je $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Vícečásticový kvantový oscilátor

V nejjednodušším případě interakce několika částic lze použít model mnohočásticového kvantového oscilátoru, který implikuje interakci sousedních částic podle kvadratického zákona:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \přes 2m}+{1 \over 2} m\omega ^{2}\součet _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Zde máme na mysli odchylku od rovnovážné polohy a hybnosti -té částice. Suma se provádí pouze nad sousedními částicemi. ${\hat {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $i$

Takový model vede k teoretickému zdůvodnění fononů – Bose – kvazičástic pozorovaných v pevné látce.

Přechody pod vlivem vnější síly

Vlivem vnější síly se může kvantový oscilátor pohybovat z jedné energetické hladiny ( ) na druhou ( ). Pravděpodobnost tohoto přechodu pro oscilátor bez tlumení je dána vzorcem: $f(t)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ vlevo(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\vpravo)^{2}\vpravo)

kde je funkce definována jako: $\delta (t)$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

a jsou Laguerrovy polynomy . $L_{m}^{{mn}}$

Viz také

Literatura

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — 3. vydání, upravené a rozšířené. — M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III).

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia