Úrovně Landau

úrovně Landau

Pojmenoval podle	Lev Davidovič Landau
Stát	SSSR
Discoverer nebo Inventor	Lev Davidovič Landau
datum otevření	1930
Vzorec popisující zákon nebo větu	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad$

Landauovy hladiny jsou energetické hladiny nabité částice v magnetickém poli . Poprvé získané jako řešení Schrödingerovy rovnice pro elektron v magnetickém poli L. D. Landauem v roce 1930 . Řešením tohoto problému jsou vlastní hodnoty a vlastní funkce Hamiltoniánu kvantového harmonického oscilátoru . Landauovy hladiny hrají zásadní roli v kinetických a termodynamických jevech v přítomnosti silného magnetického pole.

Úvodní poznámky

V kvantové mechanice , podle kodaňské interpretace , částice nemají určitou souřadnici a lze mluvit pouze o pravděpodobnosti nalezení částice v určité oblasti prostoru. Stav částice je popsán vlnovou funkcí , zatímco dynamika částice (nebo systému částic) je popsána nikoli druhým Newtonovým zákonem, ale mnohem složitější Schrödingerovou rovnicí . (Schrodingerova rovnice platí pouze v nerelativistickém případě, tedy když je rychlost částic mnohem menší než rychlost světla, jinak platí ještě složitější Diracova rovnice .)

Charakteristickým rysem Schrödingerovy rovnice je, že její vlastní hodnoty mohou být diskrétní. Planety se například mohou otáčet kolem Slunce na oběžných drahách libovolného poloměru a mohou mít kontinuální sadu energetických hodnot a elektron v atomu vodíku v semiklasické aproximaci „obíhá“ kolem protonu na drahách o určitých poloměrech a může mít pouze některé povolené energie zastoupené v energetickém spektru.

S objevem zákonů kvantové mechaniky vyvstala otázka: co se stane s pohybem částic v magnetickém poli v kvantově mechanickém pouzdře? K vyřešení tohoto problému je nutné vyřešit Schrödingerovu rovnici. Poprvé to provedl v roce 1930 sovětský fyzik Landau . [1] Ukázalo se, že částice se může pohybovat podél magnetického pole libovolnou rychlostí, ale při projekci dané rychlosti přes magnetické pole může částice zabírat pouze diskrétní energetické hladiny. Tyto úrovně se nazývaly úrovně Landau.

Níže je uvedeno semiklasické řešení problému energetického spektra, Schrödingerova rovnice (3), (8) a její řešení (7), navíc:

rovnice (1) popisuje energetické hladiny částice v magnetickém poli (Landauovy hladiny),
rovnice (10) popisuje energetické hladiny částice v kolmých elektrických a magnetických polích.
rovnice (11) popisuje energetické hladiny částice ve dvourozměrném prostoru.

Poloklasické pouzdro

Elektron pohybující se rychlostí ve vnějším magnetickém poli je vystaven Lorentzově síle , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\dot {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

kde je vektor hybnosti, je elementární elektrický náboj , je hmotnost elektronu , je rychlost světla ve vakuu, tečka označuje diferenciaci s ohledem na čas. Jeho trajektorií je šroubovice a průmětem orbity do roviny kolmé k vektoru je kruh o poloměru ( Larmorův poloměr , je složka hybnosti kolmá k poli). Dráha elektronu v prostoru hybnosti je kružnice s poloměrem . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $E$ $m$ $C$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

Podle obecných principů kvantové mechaniky se kvantuje energie pohybu omezená v prostoru v rovině kolmé na magnetické pole. V semiklasické aproximaci lze energetické hladiny elektronu nalézt na základě Lifshitz - Onsagerova vzorce [2] , který je důsledkem Bohr-Sommerfeldova kvantizačního pravidla : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

kde je redukovaná Planckova konstanta , je plocha průřezu povrchu (koule) konstantní energie rovinou , osa směřuje podél magnetického pole, . Nahrazení výrazu za oblast $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot }^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

získáme výraz pro Landauovy úrovně platné pro : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

kde je frekvence cyklotronu (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

3D pouzdro

Energetické spektrum pro elektron (hodnota energie v závislosti na jeho stavu) v magnetickém poli v trojrozměrném případě je znázorněno v jednoduché formě [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad (1)

kde je vlnový vektor ve směru , který je brán jako směr magnetického pole. Zde je energetické spektrum snadno interpretovatelné. Pohyb podél magnetického pole, kde magnetické pole neovlivňuje nabitou částici, je reprezentován rovinnými vlnami, jako u volné částice s vlnovým vektorem . Pohyb ve směru kolmém na magnetické pole je omezen a energetické spektrum je plně kvantováno. Přestože k pohybu částice dochází v trojrozměrném prostoru, energetické spektrum závisí pouze na dvou kvantových číslech : spojitém a diskrétním . To znamená, že spektrum částice je degenerované . V trojrozměrném případě dochází k dvojnásobné degeneraci energie ve smyslu projekce vlnového vektoru na směr magnetického pole . Kromě toho je zde degenerace úrovně Landau rovná $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(jeden)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ $\pm k_{z}$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Mnohonásobnost degenerace každé z Landauových úrovní se rovná poměru plochy průřezu vzorku rovinou kolmou k magnetickému poli k ploše kruhu s poloměrem rovným magnetické délce . $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

což je charakteristická velikost oblasti s vysokou pravděpodobností nalezení částice.

Navíc je u volných elektronů v trojrozměrném prostoru pozorována přibližně dvojnásobná degenerace energetických hladin ve spinu . Tato degenerace však není triviální, protože vyžaduje, aby Landauova hladina pro spin-down elektron byla přesně stejná jako Landauova hladina pro spin-up elektron plus magnetický moment elektronu v magnetickém poli. Jinými slovy, g-faktor pro elektron musí být přesně 2 (to, jak ukazuje kvantová elektrodynamika , není úplně pravda). Tím spíše není tento požadavek splněn pro elektrony, které jsou kvazičásticemi v pevných látkách (efektivní hmotnost elektronu a jeho magnetický moment spolu souvisí jen nepatrně). Problém elektronu se spinem a g-faktorem rovným 2 je však teoreticky zajímavý, protože jej lze reprezentovat jako problém se supersymetrií [5] .

K řešení Schrödingerovy rovnice pro elektron v magnetickém poli

Stacionární Schrödingerova rovnice pro elektron v magnetickém poli je reprezentována jako

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ vpravo)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

kde a jsou operátor hybnosti elektronu a vektorový potenciál magnetického pole, je funkce elektronové vlny , je energie a index označuje n-tou Landauovu hladinu. V Landauově měřidle lze rovnici zapsat ve tvaru $\hat{\mathbf{p}}$ ${\hat {\mathbf {A} ))$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné z^{2}}}\vpravo)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\částečné }{\částečné y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

Pro oddělení proměnných v této rovnici je vhodné hledat řešení jako součin tří funkcí

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

kde a jsou rozměry systému a jsou vlnové vektory, index vlnové funkce znamená, že na něm závisí jako na parametru. Dosazením do získáme jednorozměrnou rovnici pro $L_{z}$ ${\displaystyle L_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle k_{y))$ ${\displaystyle k_{y))$ $\psi _{n,k_{y)))(x)$ $(5)$ $(čtyři)$ $\psi _{n,k_{y)))(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Tato rovnice není nic jiného než Schrödingerova rovnice pro kvantový harmonický oscilátor s posunem minima potenciálu. Řešení lze tedy zapsat jako [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)

kde je Hermitův polynom řádu . $H_n(x)$ $n$

O vlivu elektrického pole

Uvažujme nyní vliv elektrického pole kolmého na magnetické pole na energetické spektrum elektronu. Přepišme rovnici s ohledem na elektrické pole směřující podél : [6] $(6)$ $\varepsilon$ $X$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

který je po výběru celého čtverce reprezentován jako

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

kde a . Z Hamiltoniánu vidíme, že elektrické pole jednoduše posouvá střed vlnové funkce. Energetické spektrum je dáno následujícím výrazem: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Dvourozměrné pouzdro

V kvantových dimenzionálních strukturách , ve kterých je pohyb nosičů náboje omezen v jednom ze směrů (například kvantová studna blízko hranice heteropřechodu ), se energetické spektrum stává diskrétním pro pohyb podél odpovídající souřadnice (například osa ). Pokud je v potenciálové jámě naplněna pouze jedna kvantová hladina s minimální energií , chovají se nosiče jako dvourozměrný plyn , tzn. pod vlivem vnějších polí se již mohou změnit ne tři, ale dvě složky hybnosti. [7] $z$ $E_{0}$

V tomto případě se elektronové spektrum skládá z ekvidistantních hladin (se vzdáleností mezi hladinami , kde je určena složkou magnetického pole podél osy ). Energie elektronu je $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Pokud jako původ zvolíme energii, pak vzorec (11) bude mít tvar: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Poznámky

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (německy) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Lifshitz-Onsagerova kvantizace . Encyklopedie fyziky a techniky . Získáno 15. ledna 2022. Archivováno z originálu dne 2. června 2022. (Ruština)
↑ Abrikosov A.A. Základy teorie kovů / Ed. LOS ANGELES. Falkovský. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 s. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — 3. vydání, upravené a rozšířené. — M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersymetrie v kvantové mechanice // UFN. - 1985. - T. 146 , čís. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Archivováno z originálu 13. července 2021.
↑ EN ADAMS a TD HOLSTEIN. KVANTOVÁ TEORIE PŘÍČNÉ GALVANO - MAGNETICKÉ JEVY // J. Phys. Chem. pevné látky. - Pergamon Press, 1959. - Sv. 10 . — S. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. FYZIKA NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ / Editoval V. I. Ilyin a A. Ya. Shik. - Petrohrad: "Nauka", 2001. - 160 s. — ISBN 5-02-024966-1 . (Ruština)

Literatura

Landauovy úrovně // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .