Rodné souřadnice

Narozené souřadnice ve speciální teorii relativity jsou souřadnicový systém používaný k popisu rotujícího kruhu nebo (obecněji) disku .

Rotace kruhu ve speciální teorii relativity

V pevném referenčním rámci je kruh popsán dvěma souřadnicemi , ve kterých má metrika tvar: $(T,\,\Phi )$

ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2}

( je poloměr kruhu, rychlost světla se předpokládá rovna jednotce ). $R$

Rotace kruhu je popsána vzorcem

\Phi =\varphi +\omega T

kde je úhlová souřadnice v prostoru, je poloha bodu na kružnici, je kruhová frekvence a T je čas pevné vztažné soustavy . $\Phi$ $\varphi$ $\omega$

Pokud vezmeme v úvahu jeden bod kružnice (tedy fixujeme ), pak její světočára bude šroubovice . Vlastní čas bodů kružnice je definován jako $\varphi$

{\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2))}\ T.

Bornovy souřadnice na kružnici jsou souřadnicový systém . Tyto dvě souřadnice nejsou ortogonální. $(T,\;\varphi )$

Metrika bude vypadat takto

ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,R^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,R^{2}\,dT \,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.

Rotace disku ve speciální teorii relativity

Uvažujeme-li rovnoměrně rotující, jako celek, disk (tj. kruh ), přidá se třetí souřadnice :. $r$

Přesto je stále konstantní. $\omega$

V tomto případě budou násobiče záviset na poloměru . $r$

Metrika bude vypadat takto

ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,r^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,r^{2}\,dT \,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.

Obrázek ukazuje, jak se lineární rychlost rotace zvyšuje a blíží se světelnému systému dvou souřadnic , čím se méně a méně podobá ortogonální. $r$ $(T,\;\varphi )$

Rychlost světla vzhledem k „času“ se v průběhu rotace snižuje a proti rotaci roste. $T$

Poloměr disku samozřejmě nemůže překročit , protože v této vzdálenosti od osy rotace se naše rotující vztažná soustava zrychluje na rychlost světla. ${\frac c\omega }$

Stanovení vzdáleností a časů

Problémy s otáčením souřadnic

Rotující vztažná soustava není inerciální a způsobuje mnoho problémů i při povrchním pohledu.

Jak bylo ukázáno, dvě souřadnice nejsou ortogonální ani na stejném kruhu, a to je neodstranitelná nevýhoda - pokud synchronizujeme čas podél celého kruhu najednou pomocí rychlosti světla, pak se referenční systém nebude otáčet, a pokud odmítneme , synchronizace času pouze na kousku kružnice, pak jedna časová souřadnice "neslepí" [1] . Na disku je situace ještě horší - hodiny nejsou synchronizovány ani lokálně (viz Sagnac efekt ). $(T,\;\varphi )$ $T$

Při výpočtu správného času se navíc musí souřadnice vynásobit koeficientem, který již není konstantní (jako na kruhu), ale proměnnou, která závisí na . Disk, i když zůstává pevný, má různou rychlost času v závislosti na vzdálenosti k ose otáčení. $T$ $r$

Kvůli problémům s časem není zcela jasné, jak vzdálenost určit – některé definice nevedou k symetrické funkci vzdálenosti mezi dvěma body na disku. A bez znalosti vzdáleností nemůžeme zkontrolovat, zda se disk otáčí jako tuhé těleso.

Langevin - Landau-Lifshitzova metrika

Ukazuje se však, že je možné správně definovat vzdálenost na rotujícím disku ve smyslu Riemannovy metriky .

To znamená, že přirozená geometrie rotujícího disku není euklidovská.

Viz také

Rindlerovy souřadnice

Poznámky

↑ Přísně vzato z toho plyne, že nemůžeme dokonale synchronizovat hodiny ani na celém povrchu Země , jak se planeta otáčí. Vliv rozdílu v rychlosti světla z východu na západ a ze západu na východ vzhledem k pozemskému času potvrzují ultra přesná měření.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 4. vydání, přepracované a rozšířené. — M .: Fizmatgiz , 1962. — 424 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II).