Krystalografická skupina bodové symetrie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Krystalografická bodová skupina symetrie je bodová skupina symetrie , která popisuje makrosymetrii krystalu . Protože v krystalech je povoleno pouze 1, 2, 3, 4 a 6 řádů os (rotační a nesprávná rotace) , pouze 32 z celého nekonečného počtu skupin bodové symetrie je krystalografických.

Notace

Symbolismus Bravais

Používá se hlavně pro vzdělávací účely a scvrkává se na seznam všech prvků bodové skupiny. Rotační osy symetrie jsou označeny písmenem L s indexem n odpovídajícím pořadí os ( ) — , , , a . Invertované osy (kombinace rotace s inverzí) se označují písmenem Ł s indexem n odpovídajícím pořadí os ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 a Ł 6 . Osa inverze prvního řádu (střed inverze) je označena symbolem C. Osa inverze druhého řádu je jednoduše rovina symetrie a obvykle se označuje symbolem P. Pro upřesnění orientace roviny vzhledem k hlavní ose lze použít různé indexy, například || a ⊥. Například symbol L 2 P ⊥ C označuje skupinu sestávající z osy druhého řádu a roviny k ní kolmé (a v důsledku jejich vzájemného působení střed inverze) a symbol L 2 2 P | | - skupina sestávající z osy druhého řádu a dvou rovin s ní rovnoběžných (i když v případě pouze rovnoběžných rovin se obvykle vynechává symbol || a bude L 2 2 P ). Symbol L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C označuje skupinu sestávající z osy čtvrtého řádu, čtyř os druhého řádu k ní kolmých, čtyř rovin s ní rovnoběžných, jedné kolmé k rovině a středu inverze. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Symbolismus Schoenflies

Symbolika Schoenflies je založena na klasifikaci skupin bodů podle rodin a je široce používána k označení všech skupin bodů obecně, a to nejen krystalografických.

Skupina skupin s jednou rotační osou je označena latinským písmenem C s indexem udávajícím pořadí osy. Krystalografické zahrnují C1 , C2 , C3 , C4 a C6 . _ _ _ _

Přidání vodorovné roviny ke skupinám C n se značí doplňkovým indexem h . Získáme skupiny C 2h , C 3h , C 4h a C 6h .

Přidání vertikálních rovin ke skupinám C n se značí doplňkovým indexem v . Skupiny C2v , C3v , C4v a C6v . _ _ _ _

Protože ve skupině C1 nejsou žádné speciální směry , nelze přidanou rovinu charakterizovat jako vertikální nebo horizontální. Taková rovina se značí indexem s . Symbolem skupiny sestávající z jedné roviny symetrie je tedy C s ( německy spiegel - zrcadlo).

Skupiny s osami druhého řádu, kolmými na hlavní osu, jsou označeny písmenem D s indexem ukazujícím pořadí hlavní rotační osy. Krystalografické jsou D2 , D3 , D4 a D6 . _ _ _

Přidání vodorovné roviny ke skupinám Dn se označí jako v případě Cn dodatečným indexem h . Skupiny jsou D2h , D3h , D4h a D6h . _ _ _

Přidání vertikálních rovin do skupin Dn je nejednoznačné , protože roviny mohou být umístěny jak mezi horizontálními osami druhého řádu, tak se s nimi shodovat. V prvním případě se přidá index d , označující diagonální uspořádání rovin (diagonálně mezi směry os druhého řádu). Získají se krystalografické skupiny D2d a D3d . Ve skupinách Dnd vede interakce horizontálních os druhého řádu a vertikálních zrcadlových rovin ke vzniku zrcadlové osy řádu 2n . Proto skupiny D 4d a D 6d nejsou krystalografické, protože obsahují zrcadlové osy řádů 8 a 12, v tomto pořadí. Přidáním svislých rovin ke skupinám D n podél os druhého řádu vznikne vodorovná rovina symetrie a získají se výše popsané skupiny Dnh

Skupiny skládající se z jedné zrcadlové osy jsou označeny symbolem S n . Pro liché n je osa zrcadlení ekvivalentní přítomnosti rotační osy řádu n a roviny k ní kolmé, tedy grupy C nh , proto je ve skupinách S n index n vždy sudý. Mezi ně patří S2 ( skupina sestávající pouze z inverzního centra), S4 a S6 . Libovolná osa zrcadlení může být popsána stejným způsobem jako inverzní osa, proto alternativní označení pro tyto skupiny je Cni , kde n je řád inverzní osy . Získá se Cj = S2 , C4i = S4 a C3i = S6 . _ _

Krystalografické skupiny bodů, ve kterých je několik os vyššího řádu (tj. více než dvou řádů), jsou označeny symboly T nebo O v závislosti na rotačních osách, které se v nich nacházejí. Další indexy h a d označují přítomnost horizontálních (a vertikálních) a diagonálních rovin symetrie. Pokud skupina obsahuje pouze rotační osy 2. a 3. řádu, pak je skupina označena symbolem T (protože taková kombinace rotačních os je přítomna v čtyřstěnu). Pokud skupina obsahuje pouze rotační osy 2, 3 a 4 řádů, pak je skupina označena symbolem O (protože taková kombinace rotačních os je přítomna v oktaedru). Přidání vodorovných rovin symetrie vede ke grupám T h a O h ( O h je grupa symetrie krychle a osmistěnu). Obě skupiny obsahují horizontální i vertikální roviny. Přidání diagonálních rovin ke grupě T vede ke grupě T d (grupa symetrie čtyřstěnu). Skupina O d neexistuje, protože přidání diagonálních rovin ke skupině O povede k limitní symetrické skupině koule obsahující všechny možné rotace a odrazy.

Schoenfliesův zápis se používá v teorii grup , fyzice a krystalografii . V symbolice Schoenflies jsou použity pouze prvky generativní symetrie (tedy z nichž lze odvodit všechny ostatní prvky symetrie skupiny). Označení jsou invariantní s ohledem na volbu souřadného systému, což je jak výhoda, když nás prostě zajímá symetrie systému, tak nevýhoda, pokud je orientace prvků symetrie skupiny bodů důležitá vzhledem k jiné objekty, například krystalový souřadnicový systém, nebo s ohledem na osy prostorová skupina Bravaisovy mříže . Proto se Hermann-Mogenovy symboly častěji používají v krystalografii, zejména k popisu prostorových grup.

Symbolismus Hermann - Mogen (mezinárodní symbolismus)

Herman-Mogenův symbol označuje symetricky neekvivalentní prvky symetrie. Rotační osy symetrie jsou označeny arabskými číslicemi - 1, 2, 3, 4 a 6. Inverzní osy jsou označeny arabskými číslicemi s pomlčkou nahoře - 1 , 3 , 4 a 6 . V tomto případě je osa 2 , která je jednoduše rovinou symetrie, označena symbolem m (anglicky mirror - mirror). Směr roviny je směr k ní kolmý (tj. osa 2 ). Zrcadlové osy se v mezinárodních symbolech nepoužívají. Orientace prvku vzhledem k souřadnicovým osám je dána polohou prvku v symbolu skupiny. Pokud se směr osy symetrie shoduje se směrem roviny, pak se zapisují na stejnou pozici jako zlomek. Pokud má inverzní osa větší symetrii než rotační osa s ní splývající, pak je v symbolu uvedena (tedy píšou ne , ale 6 ; pokud je ve skupině střed inverze, ne 3, ale 3 ). $\color {Černá}{\tfrac {3}{m}}$

Nejnižší kategorií jsou bodové skupiny, ve kterých je maximální řád libovolné osy (rotační nebo nesprávná rotace) roven dvěma. Zahrnuje skupiny 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 a . Pokud jsou v symbolu skupiny tři pozice, pak $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

na 1. pozici - směr podél osy X

ve 2. poloze - směr podél osy Y

ve 3. poloze - směr podél osy Z

Při vlastní instalaci lze skupinu mm2 zapsat jako m2m nebo jako 2mm. Podobně lze skupiny 2, m a zapsat podrobněji - označující, podél které souřadnicové osy jde směr osy a / nebo roviny druhého řádu. Například 11m, 1m1 nebo m11. Tato vlastnost symboliky slouží k jednoznačnému popisu prostorových grup s různou volbou souřadnicového systému, neboť symboly prostorových grup jsou odvozeny od symbolů jim odpovídajících bodových grup. $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$

Střední kategorie - bodové skupiny, ve kterých je jedna osa řádu nad dvěma (osa nejvyššího řádu). Zde je třeba poznamenat, že krystalografie používá krystalografický souřadnicový systém spojený se symetrií krystalu. V tomto systému osy vybírají speciální směry v krystalu (směry, podél kterých jdou osy symetrie nebo translace). Proto v přítomnosti jedné osy 3 nebo 6 řádu je úhel [1] mezi směry X a Y 120° a ne 90° jako v obvyklém kartézském souřadnicovém systému .

v 1. poloze - směr hlavní osy, tedy osy Z

ve 2. poloze - boční směr. Tedy směr podél osy X a ekvivalentní osy Y

ve 3. poloze - diagonální směr mezi symetricky ekvivalentními bočními směry

Tato kategorie zahrnuje skupiny 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3 m, 4 mm, 6 mm, 3 , 4 2 m, 6 m2, , , a . $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Protože osa 3 a rovina k ní kolmá jsou ekvivalentní ose 6 , pak = 6 a m2 = 6 m2, ale doporučuje se použít označení s obrácenou osou 6 , protože její symetrie je vyšší než symetrie 3. osa. Skupiny 4 2m a 6 m2 lze zapsat jako 4 m2 a 6 2m. Výše byla označení přijatá v ruskojazyčné literatuře. Posloupnost symbolů 2 a m v těchto skupinách nabývá na důležitosti při popisu prostorových skupin z nich odvozených, protože prvek na druhé pozici směřuje podél osy Bravaisovy buňky a prvek na třetí pozici je nasměrován podél úhlopříčky obličej. Například symboly P4 2m a P 4 m2 představují dvě různé prostorové skupiny. Skupinu 32 lze také pro různé orientace os 2 zapsat podrobněji jako 321 nebo 312. Podobně různé orientace vedou ke dvěma různým prostorovým skupinám P321 a P312. Totéž platí pro skupiny 3m (alternativní záznamy 3m1 a 31m) a 3 (alternativní záznamy 3 1 a 3 1 ). $\color {Černá}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$

Nejvyšší kategorií jsou bodové skupiny, ve kterých je několik os vyššího řádu.

na 1. pozici - ekvivalentní směry X, Y, Z

na 2. pozici - jsou zde vždy čtyři osy 3 nebo 3

na 3. pozici - diagonální směr mezi souřadnicovými osami

Tato kategorie zahrnuje pět skupin – 23, 432, 3 , 4 3m a 3 $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$

Mezinárodní symboly se obvykle zjednodušují nahrazením m , pokud je osa n generována jinými prvky symetrie uvedenými v symbolu. Nelze odstranit pouze označení hlavní osy ve střední kategorii. Například píšou jako mmm, jako mm a 3 jako m 3 m. $\color {Černá}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$

Shubnikovovy symboly

Symboly Shubnikov zaujímají střední pozici mezi symboly Schoenflies a symboly Hermann-Mogen. Vzhledově jsou více podobné těm druhým, ale významem jsou blíže symbolům Schoenflies. Stejně jako v Herman-Mogenových symbolech jsou osy označeny arabskými číslicemi a rovina symbolem m . Pro označení osy nesprávné rotace je však zvolena osa zrcadlení a nikoli inverzní osa, jak je tomu u mezinárodního symbolu. Zrcadlová osa je označena arabskou číslicí se znakem vlnovky: osa zrcadla 2. řádu (stejná jako střed inverze 1 ), osa zrcadla 4. řádu (aka inverzní osa 4. řádu 4 ) a osa zrcadla 6. řádu ( ekvivalentní inverzní ose třetího řádu 3 ). Stejně jako v symbolech Schoenflies jsou označeny pouze generující prvky symetrie. Například Shubnikovův symbol 4 : 2, stejně jako Schoenfliesův D 4 , znamená, že skupinu tvoří osa 4. řádu a osa 2. řádu na ni kolmá, přičemž mezinárodní symbol 422 rovněž označuje přítomnost ve skupině. symetricky neekvivalentní osy druhého řádu. Směr bočních os a rovin je označen znaménkem : jsou-li kolmé k hlavní ose, • - jsou-li rovnoběžné s hlavní osou a / - jsou-li skloněny vzhledem k hlavní ose. Věnujte pozornost označení skupin a . Stejně jako v odpovídajících mezinárodních značkách 4 2m a 3 m označují osy nesprávné rotace, zatímco v Schoenfliesových značkách D 2d a D 3d jsou označeny pouze rotační osy, které jsou součástí os nesprávné rotace (zahrnuje osu 2). v a osa 3 je zahrnuta v ). ${\tilda {2}}$ ${\tilda {4}}$ ${\tilda {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilda {4}}$ ${\tilda {6}}$

Orbifold notace

Orbifold notaci navrhl William Thurston a popularizoval John Conway . [2] [3] V zásadě byl zaveden pro popis skupin symetrie na dvourozměrných plochách konstantní křivosti (např. 17 dvourozměrných krystalografických grup na rovině, grupy symetrie na hyperbolické rovině, grupy symetrie na kouli) , ale protože skupiny symetrie na kouli jsou ekvivalentní trojrozměrné bodové skupiny, lze tyto zápisy použít i pro druhé. Zde je význam orbifold notace vysvětlen v popisu trojrozměrných skupin bodů.

Stejně jako v mezinárodním systému je přítomnost os symetrie označena arabskými číslicemi a obě označení označují nejen generující prvky, ale i symetricky neekvivalentní. Zde je však drobný rozdíl - v orbifold systému se neoznačují jen neekvivalentní osy symetrie, ale neekvivalentní směry. Každá osa má dva směry ("nahoru a dolů" pro vertikální nebo "doleva a doprava" pro horizontální). Například ve skupinách s jednou osou ( C n podle Schoenfliese) nejsou tyto směry ekvivalentní, takže takové skupiny jsou označeny jako nn. Krystalografické skupiny zahrnují skupiny 11, 22, 33, 44 a 66. Ve skupinách s osami 2. řádu kolmými k hlavní ose ( D n podle Schoenfliese) osy 2. řádu „překlopí“ hlavní osu o 180 stupňů, čímž obě směry jsou ekvivalentní. V takových skupinách však existují dva typy směrů 2. řádu, takže skupiny jsou označeny jako n22. Pořadí čísel není důležité, důležitá je pouze jejich poloha vůči symbolu roviny symetrie (pokud je ve skupině přítomen), o čemž bude řeč níže. Skupiny 222, 322, 422 a 622 budou krystalografické (můžete napsat i 222, 223, 224 a 226). Je zajímavé porovnat tyto symboly s odpovídajícími mezinárodními symboly 222, 32, 422 a 622. Ve skupinách s hlavní osou sudého řádu existují dvě třídy symetricky neekvivalentních horizontálních os 2. řádu (tedy dvě 2 v mezinárodním symbolu), ale pro každou z os jsou oba směry ekvivalentní. Ve skupinách s hlavní osou lichého řádu jsou všechny osy 2. řádu ekvivalentní (proto je mezinárodní symbol 32, nikoli 322), ale směr „vlevo“ a „vpravo“ těchto vodorovných os se liší, takže stále dostáváme dvě třídy symetricky neekvivalentních směrů 2. řádu a v orbifoldovém zápisu dostaneme 322 (522, 722 atd.).

Přítomnost jedné nebo více rovin symetrie ve skupině je označena jednou hvězdičkou *. Navíc, pokud je symbol osy umístěn napravo od hvězdičky, pak roviny symetrie procházejí osou (n rovin přes osu n-tého řádu), pokud je číslo umístěno nalevo od hvězdičky, pak roviny neprocházejí osou. Například ve skupině *332 ( T d podle Schoenfliese) roviny procházejí všemi osami a ve skupině 3 * 2 ( T h podle Schoenfliese) roviny procházejí pouze osami 2. řádu, nikoli však přes osy 3. řádu.

Několik dalších příkladů:

Ve skupinách s rovinou symetrie kolmou k hlavní ose symetrie ( C nh podle Schoenfliese) se oba směry osy stávají ekvivalentními a skupiny jsou označeny symbolem n*. Krystalografické skupiny budou 2*, 3*, 4* a 6*. Pokud rovina symetrie prochází osou ( C nv podle Schoenfliese), pak, jak bylo uvedeno výše, je hvězdička umístěna vlevo od čísla a dostáváme skupiny *22, *33, *44, *66 . Čísla se opět zdvojnásobí, protože směry hlavní osy ("nahoru a dolů") jsou opět neekvivalentní.

Nejen roviny symetrie dokážou převést části figury (fragmenty motivu) na zrcadlově symetrické. Mezi takové prvky patří například zrcadlové a inverzní osy. Pro dvourozměrné krystalografické grupy na rovině je takovým prvkem reflexe pastvy (tedy odraz se současným posunem podél linie odrazu). Přítomnost takového prvku ve skupině je označena ikonou x („zázrak“ podle Conwaye). Tato ikona se používá pouze v případě, že akci prvku nelze žádným způsobem znázornit jako kombinaci jiných prvků ze symbolu skupiny. V případě 3 -rozměrných skupin bodů se to týká skupin sestávajících z jediné zrcadlové osy sudého řádu , S2 = Ci , S4 a S6 . Budou označeny 1x, 2x a 3x.

Coxeterův zápis

Zpočátku Coxeter používal tyto zápisy pro skupiny tvořené sadou rovin symetrie. Když se dvě roviny symetrie protnou pod úhlem stupňů, vytvoří se osa symetrie n-tého řádu a získá se skupina bodů C nv , která bude označena jako [n]. Pokud je skupina generována třemi rovinami, pak se symbol skupiny skládá ze dvou číslic [n, m], kde opět každá číslice označuje pořadí osy rotace vytvořené v průsečíku rovin. Tyto skupiny zahrnují skupiny Dnh , které budou označeny jako [n,2], a také skupiny symetrie pravidelných mnohostěnů Th ( čtyřstěn ) , Oh ( krychle ) a Ih ( ikosaedru ) , které budou označované jako [3,3], [4,3] a [5,3]. Zbývající skupiny symetrie lze považovat za podskupiny výše popsaných a pro jejich popis byl Coxeterův zápis doplněn o znaménko +. Pokud je + za hranatými závorkami, pak jsou roviny symetrie odstraněny z celé skupiny a zůstane pouze osový komplex skupiny. Například [3,3] + , [4,3] + a [5,3] + označují skupiny T , O a I . Je-li + uvnitř závorek nad jedním z čísel, pak jsou odstraněny dvě odpovídající generující roviny symetrie (ale jimi generovaná osa zůstává) a některé další prvky skupiny zmizí s nimi. V obou případech je pořadí skupiny poloviční. Skupiny typu [n + ,m + ] jsou průsečíkem skupin [n + ,m] a [n, m + ], to znamená, že se skládají z prvků symetrie, které jsou přítomny v obou původních skupinách. Řád skupiny [n + ,m + ] je čtyřikrát menší než řád skupiny [n, m]. Skupiny bodů tohoto typu mají vždy tvar [2n + ,2 + ] a odpovídají symbolům S 2n Schoenflies. $\color {Černá}{\tfrac {180}{n}}$

Vysvětleme si zápis na příkladu grup s osou čtvrtého řádu. Když se dvě roviny protnou pod úhlem 45°, vznikne osa 4. řádu a výsledná skupina je C 4v (mezinárodní symbol 4mm), která bude označena jako [4]. Když se přidá ještě jedna rovina symetrie, která je kolmá na obě roviny symetrie, vznikne grupa D 4h ( ), která je označena jako [4,2]. Odebereme-li ze grupy [4] roviny symetrie (ale ponecháme jimi generovanou osu symetrie), dostaneme grupu C 4 (mezinárodní symbol 4), označenou jako [4] + . Odebereme-li ze grupy [4,2] všechny roviny symetrie, dostaneme grupu D 4 (422), označenou jako [4,2] + . $\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Skupina [4 + ,2] označuje skupinu [4,2], ve které byly odstraněny vertikální roviny symetrie, které daly vzniknout ose 4. řádu, přičemž samotná osa 4. řádu zůstala a vodorovná rovina také zůstalo. Ale horizontální osy druhého řádu zmizely. Výsledná skupina je C4h ( ) . Z tohoto příkladu můžete vidět, že + nad jednou z číslic "zabije" osu symetrie odpovídající sousední číslici. $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$

Skupina [4,2 + ] označuje skupinu [4,2], ve které byla odstraněna horizontální rovina a jeden z vertikálních generátorů. Horizontální osy 2. řádu tedy částečně zůstaly, ale osa 4. řádu zanikla. Výslednou skupinu tvoří dvě horizontální osy 2. řádu a dvě vertikální roviny probíhající mezi nimi. Jedná se o skupinu D 2d ( 4 2m).

Konečně grupa [4 + ,2 + ] je průsečíkem grup [4 + ,2] a [4,2 + ] a je jednoduše zrcadlovou osou 4. řádu S 4 ( 4 ), která je přítomna v obou skupinách a 4 2m. $\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$

Porovnání různých zápisů pro skupiny bodů

Kategorie	Syngonie	Krystalový systém	Herman-Mogen (plný symbol)	Herman Mogen (zkráceně)	Shubnikovovy symboly	Symboly Schoenflies	Statečné symboly	Orbifold	Coxeter	Skupinové pořadí
Nižší	Triklinika		jeden	jeden	$jeden\$	C1 _	L1 _	jedenáct	[ ] +	jeden
	Triklinika		jeden	jeden	${\tilda {2}}$	C i \u003d S 2	C = 11 _	X	[2 + ,2 + ]	2
	Monoklinika		2	2	$2\$	C2 _	L2 _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	Cs = Cih _	P = £ 2	*	[ ]	2
			$\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	čtyři
	kosočtverečné		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	čtyři
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	čtyři
			$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	osm
Střední	čtyřúhelníkový		čtyři	čtyři	$čtyři\$	C4 _	L 4	44	[4] +	čtyři
			čtyři	čtyři	${\tilda {4}}$	S4 _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	čtyři
			$\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	čtyři*	[ 2,4+ ]	osm
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	osm
			4 mm	4 mm	$4\ctečka m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[čtyři]	osm
			42 m_	42 m_	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	osm
			$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mm	$m\cdot 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Šestihranný	Trigonální	3	3	$3\$	C3 _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilda {6}}$	S6 = C3i _	Ł 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3 _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3 m	3 m	$3\ctečka m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d _	Ł 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Šestihranný	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 P ⊥ = Ł 6	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\color {Černá}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = Ł 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Vyšší	krychlový		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43m _	43m _	$3/{\tilda {4}}$	T d	3 Ł 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	Ó	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	O h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Obrázek skupin bodů. Stereografické projekce skupin bodů

Roviny symetrie jsou označeny dvojitými čarami, osy rotace jsou označeny příslušným mnohoúhelníkem (osy druhého řádu jsou označeny oválem) a střed inverze je označen otevřeným kruhem. Inverzní osy čtvrtého a šestého řádu jsou označeny nevyplněným čtvercem a šestiúhelníkem; zároveň jsou označeny i osy druhého a třetího řádu v nich zahrnuté (osa 2 patří 4 , osa 3 patří 6 ).

Krystalový systém	Stereografické projekce [4]
Triklinika	1 , Cl	1 , C i
Monoklinika	2 , C2	m , C s	$\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ , C 2h
kosočtverečné				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
čtyřúhelníkový	4 , C4	4 , S4 _	$\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ , C 4h	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonální	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$
Šestihranný	6 , C6	6 , C 3h	$\color {Černá}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6mm , C 6v_ _	6m2 , D3h _ _	$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
krychlový	23, T		$\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , T h	432, O		4 3 m , T d	$\color {Černá}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , O h $\color {Černá}{\tfrac {2}{m}}$

Schéma spojení mezi skupinami bodů

V tomto diagramu jsou skupiny uspořádány od méně symetrických (dole) po skupiny s vyšší symetrií (nahoře). Skupiny stejného řádu leží ve stejné výšce. Každá základní skupina je podskupinou nadřazené skupiny, která je s ní spojena linií. Pro usnadnění vnímání jsou čáry uvedeny v různých barvách.

Historie

První závěr ze všech 32 krystalografických bodových skupin učinil v roce 1830 Johann Hessel ve svém pojednání „Krystalometrie neboli krystalonomie a krystalografie, vyvinutá originálním způsobem na základě nové obecné nauky o figurách, s úplným přehledem většiny důležitá díla a metody jiných krystalografů.“ Toto odvození bodových skupin však zůstalo bez povšimnutí. Následující závěr učinil Auguste Bravais v roce 1849 ve svých memoárech An Inquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape. Bravais však nebral v úvahu osy nesprávné rotace (zrcadlové otáčení nebo inverze) a v důsledku toho vynechal skupinu S 4 . Všech ostatních 31 krystalografických skupin lze odvodit jako kombinaci pouze os symetrie, reflexních rovin a inverzního středu. Konečně v roce 1867 Axel Gadolin v „Poznámkách Petersburgské mineralogické společnosti“ publikoval „Odvození všech krystalografických systémů a jejich pododdělení z jednoho společného začátku“. Právě v Gadolinově práci bylo poprvé výslovně uvedeno, že počet typů symetrie pro krystalické mnohostěny (tj. krystalografické bodové skupiny symetrie) je 32. V této práci Gadolin zavedl koncept inverzní osy do Věda. V tomto článku se také poprvé objevují stereografické projekce 32 skupin bodů.

Viz také

Poznámky

↑ Viz zákon stálosti úhlů ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. O čtveřicích a oktávách, o jejich geometrii, aritmetice a symetriích. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
↑ Stereografická projekce , viz např. Symetrie krystalů - článek z Fyzické encyklopedie

Literatura

Hexagonální systém // Encyklopedický slovník Brockhaus a Efron : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometrická krystalografie, Moskevská státní univerzita, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Krystalografie, Moskevská státní univerzita, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Teorie krystalové symetrie, GEOS, 2000 (dostupné on-line )
P. M. Zorkiy. Symetrie molekul a krystalových struktur , Moskevská státní univerzita, 1986 (dostupné online )
A. V. Šubnikov. Symetrie a antisymetrie konečných obrazců, Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1951
I. I. Šafranovský. Historie krystalografie. XIX století, L., "Nauka", 1980