Fordovy kruhy

Fordovy kružnice jsou kružnice se středem v bodech se souřadnicemi a poloměry , kde je neredukovatelný zlomek . Každý Fordův kruh je tečný k vodorovné ose a libovolné dva kruhy se buď dotýkají , nebo se neprotínají. [jeden] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y=0$

Historie

Fordovy kružnice jsou zvláštním případem vzájemně tečných kružnic. Systémy vzájemně tečných kružnic studoval Apollonius z Pergy , po kterém je pojmenován Apolloniův problém a Apolloniova mřížka . V XVII. století Descartes dokázal Descartův teorém – vztah mezi reciprokými poloměry vzájemně tečných kružnic [2] .

Fordovy kruhy jsou pojmenovány po americkém matematikovi Lesteru Fordovi starším , který o nich psal v roce 1938 [1] .

Vlastnosti

Fordův kruh odpovídající zlomku je označen jako nebo . Každé racionální číslo odpovídá Fordově kružnici. Kromě toho lze polorovinu také považovat za degenerovanou Fordovu kružnici o nekonečném poloměru, odpovídající dvojici čísel . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p=1,q=0$

Jakékoli dva odlišné Fordovy kruhy se buď vůbec neprotínají, nebo se navzájem dotýkají. Žádné dva Fordovy kruhy nemají protínající se vnitřní oblasti, a to navzdory skutečnosti, že v každém bodě osy úsečky, který má racionální souřadnice, se této osy dotýká jeden Fordův kruh. Pokud , pak soubor Fordových kruhů, které se dotýkají , lze popsat kterýmkoli z následujících způsobů: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

kruhy , kde , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
kruhy , kde zlomky sousedí v jakékoli Fareyově řadě , [1] nebo $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
kruhy , kde je nejbližší menší nebo nejbližší větší předek ve Sternově stromě - Broko , nebo je nejbližší menší nebo větší předek . [jeden] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Fordovy kruhy mohou být také viděny jako oblasti v komplexní rovině . Modulární transformační skupina komplexní roviny mapuje Fordovy kruhy na jiné Fordovy kruhy. [jeden]

Pokud interpretujeme horní polovinu komplexní roviny jako model hyperbolické roviny ( Poincarého polorovinný model ), lze Fordovy kružnice interpretovat jako obklady hyperbolické roviny horocykly . Jakékoli dva Fordovy kružnice jsou v hyperbolické geometrii shodné . [3] Jestliže a jsou tečné Fordovy kružnice, pak půlkružnice procházející body a kolmá k ose úsečky je hyperbolická přímka, která také prochází tečným bodem dvou Fordových kružnic. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s,0)$

Fordovy kružnice tvoří podmnožinu kružnic, které tvoří Apolloniovu mřížku, danou čarami a a kružnicí . [čtyři] $y=0$ $y=1$ $C[0/1]$

Celková plocha kruhů

Existuje vztah mezi celkovou plochou Fordových kružnic, Eulerovou funkcí , Riemannovou zeta funkcí a Apéryho konstantou . [5] Protože se žádné dvě Fordovy kružnice neprotínají ve vnitřních bodech, okamžitě získáme, že celková plocha kružnic $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

menší než 1. Tato oblast je dána konvergentním součtem, který lze vypočítat analyticky. Podle definice se požadovaná plocha rovná

A=\součet _{{q\geqslant 1}}\součet _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\vpravo)^{2}.

Zjednodušením tohoto výrazu dostáváme

A={\frac {\pi }{4}}\součet _{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\součet _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\součet _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

kde poslední rovnost používá vzorec pro Dirichletovu řadu s koeficienty danými Eulerovou funkcí . Vzhledem k tomu , jako výsledek, dostaneme $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\cca 0,872284041.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Zlomky // Americký matematický měsíčník . - 1938. - Sv. 45 , č. 9 . - S. 586-601 . - doi : 10.2307/2302799 . , MR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, The Problem of Apollonius // American Mathematical Monthly . - 1968. - Sv. 75 . — S. 5–15 . - doi : 10.2307/2315097 . MR : 0230204 _
↑ Conway J. Kvadratické formy dané nám v pocitu . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian circle packings: Number theory // Journal of Number Theory . - 2003. - Sv. 100 , č. 1 . — S. 1–45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . - arXiv : math.NT/0009113 . , MR : 1971245 .
↑ Marszalek W. Obvody s oscilačními hierarchickými Fareyovými posloupnostmi a fraktálními vlastnostmi // Circuits, Systems and Signal Processing. - 2012. - Sv. 31 , č. 4 . - S. 1279-1296 . - doi : 10.1007/s00034-012-9392-3 . .

Viz také

Externí odkazy

Fordovy dojemné kruhy
Weisstein, Eric W. Ford Circle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .