Logaritmická derivace

Logaritmická derivace je derivace přirozeného logaritmu funkce.

$(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

Často se používá pro zjednodušení hledání derivace některých funkcí, například složených exponenciálních.

Aplikace

Derivace exponenciální funkce

Let (pro stručnost , kde u a g jsou funkce). ${\displaystyle f(x)=u(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle f=u^{g))$

Potom , . Na druhou stranu , tj. . $\ln f=\ln u^{g}=g\ln u$ $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u))$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$ $f' = f\cdot(\ln f)'$

Konečně máme $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Derivace součinu funkcí

Nechť je dána funkce (pro stručnost ). $f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)$ ${\displaystyle f=\prod _{i=1}^{n}g_{i))$

Od . ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j })'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1} ^{n}g_{i}\součet _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\součet _{ j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j))))$

Nakonec dostaneme : $f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1} ^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{ j}}}$

Můžete napsat vzorec a přejít do jiné formy:

Pokud , pak

{\displaystyle f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n))

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1))}+{ \frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

Rozbalením závorek dostaneme:

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+ \ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

Zejména pokud , pak $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\ alfa _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}$ $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{ \alpha _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\ beta _{n))))\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1))}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1} \cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\ beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n))}\right)$

Příklad

Pojďme najít derivaci funkce : ${\frac {df}{dx))$ $f(x) = x^x$

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

Viz také

Derivát

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata