Metoda konečných rozdílů

Metoda konečných diferencí je numerická metoda pro řešení diferenciálních rovnic založená na nahrazení derivací diferenčními schématy . Je to metoda mřížky.

Metoda konečných rozdílů pro řešení eliptických problémů

Pro vyřešení eliptického problému metodou konečných diferencí se na výpočetní doméně sestaví mřížka, pak se vybere diferenční schéma a pro každý uzel mřížky se napíše diferenční rovnice (analogická k původní rovnici, ale s použitím diferenčního schématu), pak se berou v úvahu okrajové podmínky (pro okrajové podmínky druhého a třetího druhu se sestrojí i určité rozdílové schéma). Ukazuje se systém lineárních algebraických rovnic , jejichž řešením v odpovědi získávají přibližné hodnoty řešení v uzlech.
Hlavním problémem metody je konstrukce správného diferenčního schématu, které bude konvergovat k řešení. Schéma je konstruováno na základě vlastností původního diferenciálního operátoru.

Porovnání s metodou konečných prvků

Další metodou pro řešení eliptických problémů je metoda konečných prvků , která má oproti metodě konečných rozdílů výhody i nevýhody.

Výhody MKR	Výhody MKP
U jednoduchých problémů je konstrukce rozdílového schématu rychlejší	Metoda je projekční, tedy stabilní Umožňuje pracovat s geometricky složitějšími oblastmi Řešením je okamžitě funkce a hodnoty v libovolném bodě lze okamžitě vypočítat (v MCS musíte nejprve vytvořit spline)

Příklad

Nechť je dán jednorozměrný eliptický problém:

$-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$u(0)=u(1)=0$

Vytvořme mřížku s konstantním krokem . Pro aproximaci zvolíme tříbodovou šablonu, tedy pro aproximaci derivace v bodě použijeme body . Pak bude diferenční rovnice vypadat takto: $h={\frac {1}{4))$ $x_i$ $\left\{x_{{i-1}},x_{i},x_{{i+1}}\right\}$

${\frac {-u_{{i-1}}+2u_{i}-u_{{i+1}}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

Za daných okrajových podmínek bude systém lineárních rovnic formuláře pro nalezení řešení vypadat takto: $Au=b$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}~b {pmatrix}0\\f({\frac {1}{4)))\\f({\frac {1}{2)))\\f({\frac {3}{4)))\ \0\\\end{pmatrix}}$ .

Metoda konečných rozdílů pro řešení nestacionárních problémů

Řešení problémů metodou konečných diferencí, kdy se proces mění v čase, je iterativní proces – při každé iteraci nacházíme řešení na nové časové vrstvě. K řešení takových problémů se používají explicitní, implicitní schémata a prediktor-korektor (dvojice speciálně vybraných explicitních a implicitních schémat). Explicitní schémata a schémata prediktor-korektor jednoduše přepočítají hodnotu pomocí informací z předchozích časových vrstev, použití implicitního schématu vede k řešení rovnice (nebo soustavy rovnic).
Pro parabolické a hyperbolické rovnice se často používají směšovací metody – derivace času se aproximují pomocí diferenčního schématu a prostorový operátor se aproximuje pomocí formulace konečných prvků [1] .

Příklad řešení obyčejné diferenciální rovnice

Nechť je dána rovnice s počáteční podmínkou . K vyřešení používáme následující rozdílová schémata: ${\frac {du}{dt}}=u$ $u(0)=1$

Explicitní Eulerovo schéma . Diferenční rovnice: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i}}-u_{{i-1} }}{h}}$ $u_{{i+1}}={\frac {1}{1-h}}u_{{i}}$
Implicitní Eulerovo schéma . Diferenční rovnice: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i+1}}-u_{{i} }}{h}}$ $u_{{i+1}}=(1+h)u_{i}$

S krokem . Přesné řešení je exponent : $h = 0,25$ $u=e^{t}$

Výsledek výpočtu pro prvních několik kroků
hodnota t	Přesné řešení	Explicitní Eulerovo schéma	Implicitní Eulerovo schéma
$0,25$	$1,28...$	$1.25$	$1,33...$
$0,50$	$1,64...$	$1,56...$	$1,77...$
$0,75$	$2.11...$	$1,95...$	$2,36...$

S klesajícím krokem se zvyšuje přesnost metody. Protože původní rovnice je lineární diferenciální rovnice , pak pro implicitní schéma byla získána také lineární rovnice, ze které je možné vyjádřit (což bylo provedeno) řešení.

Příklad řešení parabolické rovnice

Tento příklad ukazuje, jak jsou kombinovány formulace konečných prvků a rozdílová schémata. Nechť je dána parabolická rovnice:

$-\Delta u+{\frac {\částečné u}{\částečné t))=f({\mathbf {r)),t),~in~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{{t=0))=\chi ({\mathbf {r)))$

Pro aproximaci v čase pomocí implicitního Eulerova schématu dostaneme:

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {u^{{i+1}}-u^{{i}}}{\tau }}=f({\mathbf {r}} ,t^{{i+1}})$

Vzhledem k tomu, že hodnota na předchozí vrstvě je již známá, pak při přenosu na pravou stranu se získá eliptická rovnice s ohledem na : $ty^{{i+1}}$

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }}u^{{i+1}}=f^{{i+1}}+{\frac {1} {\tau }}u^{{i}}$

K vyřešení této rovnice můžete použít Galerkinovu metodu , pak bude mít výsledný SLAE následující tvar:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{{i+1}}=b^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }} Mx^{{i}}$ .

Zde: je matice tuhosti, je hmotnostní matice, je vektor spojený s pravou stranou původní rovnice, je vektor vah základních funkcí na vrstvě očíslován . $G$ $M$ $b$ $x^i$ $i$

Prostorové řešení však lze hledat i pomocí rozdílového schématu, podobně jako ve výše uvedeném příkladu.

Viz také

Literatura

Samarsky A.A. , Nikolaev E.S. Metody řešení mřížkových rovnic. - Moskva: Nauka , 1978. - 592 s.
Stetter H. Analýza diskretizačních metod pro obyčejné diferenciální rovnice. - Moskva: Mir , 1978. - 461 s.

Poznámky

↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Peršová M.G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Metoda konečných rozdílů
Obecné články	Metoda konečných rozdílů rozdílové schéma diferenční rovnice
Typy rozdílových schémat	Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsova metoda Integrace Werlet Metoda konečného rozdílu v časové doméně

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody