Schwarzschildova metrika

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Schwarzschildova metrika je jediné sféricky symetrické exaktní řešení Einsteinových rovnic bez kosmologické konstanty v prázdném prostoru díky Birkhoffově větě. Konkrétně tato metrika přesně popisuje gravitační pole osamocené nerotující a nenabité černé díry a gravitační pole mimo osamocené sféricky symetrické masivní těleso. Pojmenována po Karlu Schwarzschildovi , který ji poprvé objevil v roce 1916 .

Toto řešení je statické, takže sférické gravitační vlny jsou nemožné.

Typ metriky

Schwarzschildovy souřadnice

V tzv. Schwarzschildových souřadnicích , z nichž poslední 3 jsou podobné sférickým , je metrický tenzor fyzikálně nejdůležitější části Schwarzschildova časoprostoru s topologií (součin oblasti dvourozměrného euklidovského prostoru a dvourozměrná koule) má tvar $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\krát S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

Interval v této metrice je zapsán jako

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\right),

kde je tzv. Schwarzschildův poloměr , nebo gravitační poloměr , je hmotnost, která vytváří gravitační pole (zejména hmotnost černé díry), je gravitační konstanta , je rychlost světla . V tomto případě oblast změny souřadnic s identifikací bodů a jako v běžných sférických souřadnicích . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $C$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta ,\varphi =0)$ $(t,r,\theta ,\varphi =2\pi)$

Souřadnice není délkou vektoru poloměru, ale zadává se tak, aby plocha koule v dané metrice byla rovna . V tomto případě je „vzdálenost“ mezi dvěma událostmi s různými (ale stejnými jinými souřadnicemi) dána integrálem $r$ $t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

V nebo , Schwarzschildova metrika inklinuje (složkově) k Minkowského metrice ve sférických souřadnicích, takže daleko od masivního tělesa se časoprostor ukáže jako přibližně pseudoeuklidovský podpis . Protože at a monotónně roste s rostoucím , pak správný čas v bodech v blízkosti tělesa „plyne pomaleji“ než daleko od něj, to znamená, že u masivních těles dochází ke zpomalování gravitačního času . $M\na 0$ $r\to\infty$ $M$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Diferenciální charakteristiky

Pro centrálně symetrické gravitační pole ve vakuu (a to je případ Schwarzschildovy metriky) můžeme dát:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Pak mají tvar nenulové nezávislé Christoffelovy symboly

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\název operátora {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

Invarianty tenzoru křivosti jsou

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\vpravo)^{3}.

Tenzor křivosti je typu Petrov . $\mathbf {D}$

Hromadná vada

Pokud existuje sféricky symetrické rozložení hmoty „poloměru“ (ve smyslu souřadnic) , pak lze celkovou hmotnost tělesa vyjádřit pomocí jeho tenzoru energie-hybnosti vzorcem $A$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

Zejména pro statické rozložení hmoty , kde je hustota energie v prostoru. Vzhledem k tomu, že objem kulové vrstvy v námi zvolených souřadnicích je roven $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

dostaneme to

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Tento rozdíl vyjadřuje gravitační vadu tělesné hmoty . Dá se říci, že část celkové energie systému je obsažena v energii gravitačního pole, i když je nemožné tuto energii lokalizovat v prostoru.

Singularita v metrice

Na první pohled metrika obsahuje dvě funkce: at a at . Ve Schwarzschildových souřadnicích bude částice dopadající na těleso skutečně potřebovat nekonečně dlouhou dobu , než dosáhne povrchu , avšak přechod například na Lemaitrovy souřadnice v přibližující se vztažné soustavě ukazuje, že z hlediska incidentu pozorovateli, na tomto povrchu není žádný časoprostorový útvar a jak samotného povrchu, tak i oblasti bude dosaženo v konečném správném čase . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\cca 0$

Skutečná singularita Schwarzschildovy metriky je pozorována pouze v , kde skalární invarianty tenzoru křivosti mají tendenci k nekonečnu . Tuto vlastnost ( singularitu ) nelze eliminovat změnou souřadnicového systému. $r\na 0$

Horizont událostí

Povrch se nazývá horizont událostí . S lepší volbou souřadnic, například v souřadnicích Lemaitre nebo Kruskal, lze ukázat, že žádné signály nemohou opustit černou díru horizontem událostí. V tomto smyslu není divu, že pole mimo Schwarzschildovu černou díru závisí pouze na jediném parametru – celkové hmotnosti tělesa. $r=r_{s}$

Kruskalovy souřadnice

Jeden může zkusit zavést souřadnice, které nedávají singularitu v . Takových souřadnicových systémů je známo mnoho a nejrozšířenější z nich je Kruskalův souřadnicový systém, který jednou mapou pokrývá celou maximálně rozšířenou varietu, která splňuje Einsteinovy vakuové rovnice (bez kosmologické konstanty). Tento větší prostoročas se obvykle nazývá (maximálně rozšířený) Schwarzschildův prostor nebo (vzácněji) Kruskalův prostor ( Kruskal–Szekeresův diagram ). Metrika v Kruskalových souřadnicích má tvar $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

kde , a funkce je definována (implicitně) rovnicí . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

Prostor je maximální , to znamená, že již nemůže být izometricky zasazen do většího časoprostoru a oblast ve Schwarzschildových souřadnicích ( ) je jen částí (to je oblast - oblast I na obrázku). Těleso pohybující se pomaleji než světlo - světočára takového tělesa bude křivka s úhlem sklonu k vertikále menším, než jaký může zanechat , viz křivka na obrázku . V tomto případě spadá do regionu II, kde . Jak je z obrázku patrné, již nebude moci tuto oblast opustit a vrátit se do ní (k tomu by se musel více než jeden odchýlit od vertikály, tedy překročit rychlost světla). Region II je tedy černou dírou. Jeho hranicí (křivka, ) je tedy horizont událostí. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\ r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Existuje ještě jedna asymptoticky plochá doména III, ve které lze také zavést Schwarzschildovy souřadnice. Tato oblast však kauzálně nesouvisí s oblastí I, což znemožňuje získat o ní jakékoli informace, zůstává mimo horizont událostí. V případě skutečného kolapsu astronomického objektu jednoduše nevzniknou oblasti IV a III, protože levá strana prezentovaného diagramu musí být nahrazena neprázdným časoprostorem naplněným hroutící se hmotou. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Zaznamenáváme několik pozoruhodných vlastností maximálně rozšířeného Schwarzschildova prostoru : ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

Je singulární: souřadnice pozorovatele klesajícího pod horizont klesá a má tendenci k nule, když jeho správný čas směřuje k nějaké konečné hodnotě . Jeho světovou linii však nelze rozšířit na oblast , protože v tomto prostoru nejsou žádné body. Osud pozorovatele je nám tedy znám jen do určitého okamžiku (vlastního) času. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Přestože je prostor statický (je jasné, že metrika (1) nezávisí na čase), prostor ne. Toto je formulováno přesněji následovně: Killing vector , který je v , se stává prostorovým v oblastech II a IV rozšířeného prostoru. ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
Oblast III je také izometrická . Maximálně rozšířený Schwarzschildův prostor tedy obsahuje dva "vesmíry" - "náš" (tento ) a další stejný. Oblast II uvnitř černé díry, která je spojuje, se nazývá Einstein-Rosenův most . Pozorovatel vycházející z I a pohybující se pomaleji než světlo se do druhého vesmíru nedostane (viz obr. 1), ale v časovém intervalu mezi překročením horizontu a dopadem na singularitu ji spatří . Tato struktura časoprostoru, která přetrvává a dokonce se stává složitější, když uvažujeme o složitějších černých dírách, dala podnět k četným spekulacím o možných „jiných“ vesmírech a cestování černými dírami v nich jak ve vědecké literatuře, tak ve sci-fi (viz Molekuly nory ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Orbitální pohyb

Historie akvizice a interpretace

Schwarzschildova metrika, působící jako objekt významného teoretického zájmu, je také jakousi pomůckou pro teoretiky, zdánlivě jednoduchou, ale přesto okamžitě vedoucí k obtížným otázkám.

V polovině roku 1915 Einstein zveřejnil předběžné rovnice pro teorii gravitace . To ještě nebyly Einsteinovy rovnice, ale už se shodovaly s těmi konečnými v případě vakua . Schwarzschild integroval sféricky symetrické rovnice pro vakuum v období od 18. listopadu 1915 do konce roku. ledna 1916 mu Einstein, kterého Schwarzschild oslovil ohledně uveřejnění svého článku v Berliner Berichte, napsal, že „četl jeho dílo s velkou vášní“ a „byl ohromen, že skutečné řešení tohoto problému lze vyjádřit tak snadno“ – Einstein zpočátku pochyboval, zda je vůbec možné získat řešení tak složitých rovnic. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild dokončil svou práci v březnu a také získal sféricky symetrický statický vnitřní roztok pro kapalinu konstantní hustoty. V této době ho postihla nemoc ( pemfigus ), která ho v květnu přivedla do hrobu. Od května 1916 získal I. Droste, student G. A. Lorentze, provádějící výzkum v rámci konečných rovnic Einsteinova pole, řešení stejného problému jednodušší metodou než Schwarzschild. Vlastní také první pokus analyzovat divergenci řešení, jak směřuje ke Schwarzschildově sféře.

Po Drostem se většina badatelů začala spokojovat s různými úvahami směřujícími k prokázání neprostupnosti Schwarzschildovy sféry. Úvahy teoretického charakteru byly zároveň podpořeny fyzikálním argumentem, podle něhož „toto v přírodě neexistuje“, protože neexistují žádná tělesa, atomy, hvězdy, jejichž poloměr by byl menší než poloměr Schwarzschildův. .

Pro K. Lanczose, stejně jako pro D. Gilberta, se Schwarzschildova sféra stala příležitostí k zamyšlení nad konceptem „singularity“, pro P. Painlevého a francouzskou školu byla předmětem polemiky, do níž se zapojil i Einstein.

Během pařížského kolokvia v roce 1922, uspořádaného v souvislosti s Einsteinovou návštěvou, nejenže vznikla myšlenka, že Schwarzschildův poloměr nebude singulární, ale také hypotéza předjímající to, čemu se dnes říká gravitační kolaps .

Dovedný vývoj Schwarzschilda byl jen relativní úspěch. Ani jeho metoda, ani jeho interpretace nebyly přijaty. Z jeho díla se nezachovalo téměř nic, kromě „holého“ výsledku metriky, se kterým bylo spojeno jméno jejího tvůrce. Ale otázky interpretace a především otázka „Schwarzschildovy singularity“ ještě nebyly vyřešeny. Začalo se krystalizovat hledisko, že na této singularitě nezáleží. K tomuto pohledu vedly dvě cesty: na jedné straně teoretická, podle níž je „švarcchildovská singularita“ neprostupná, a na druhé straně empirická, spočívající v tom, že „tato neexistuje v Příroda." Tento názor se rozšířil a stal se dominantním ve veškeré odborné literatuře té doby.

Další etapa je spojena s intenzivním studiem gravitace na počátku „zlatého věku“ teorie relativity.

Literatura

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. přel.: Schwarzschild K. O gravitačním poli hmotného bodu v Einsteinově teorii // Albert Einstein a teorie gravitace. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. Na památku Karla Schwarzschilda // Einstein A. Sborník vědeckých prací. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Stoleté výročí obecné teorie relativity (1915-2015); Schwarzschildovo řešení a černé díry . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Viz také

Odkazy

Hlavní závěry teorie relativity

Slovníky a encyklopedie	velká čínština

Černé díry

Typy

Rozměry

Vzdělání

Vlastnosti

Modelky

teorie

Přesná řešení v obecné teorii relativity

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Přesné řešení černé díry

související témata

Kategorie:Černé díry