Okamžiky náhodné veličiny
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 7. února 2020; kontroly vyžadují
19 úprav .
Okamžik náhodné veličiny je číselnou charakteristikou rozdělení dané náhodné veličiny .
Původ konceptu
Moment v matematice je přímou analogií s konceptem momentu ve fyzice a mechanice. V matematice jsou momenty funkce kvantitativní měření související s tvarem grafu funkce. Je-li například funkcí rozdělení pravděpodobnosti , pak prvním momentem je očekávaná hodnota , druhým centrálním momentem je rozptyl , třetím standardizovaným momentem je šikmost a čtvrtým standardizovaným momentem je špičatost . Pokud funkce popisuje hustotu hmoty, pak nulový moment je celková hmotnost, první moment (normalizovaný na celkovou hmotnost) je těžiště a druhý moment je moment setrvačnosti .
Definice
Pokud je dána náhodná proměnná definovaná na nějakém pravděpodobnostním prostoru , pak:
- -tý počáteční moment náhodné veličiny kde je proměnná
pokud je definováno
matematické očekávání na pravé straně této rovnosti;
- -tý centrální moment náhodné veličiny se nazývá hodnota
- -tý absolutní a -tý centrální absolutní moment náhodné veličiny se nazývají veličiny
a
- -tý faktoriální moment náhodné veličiny je veličina
pokud je definováno matematické očekávání na pravé straně této rovnosti.
[jeden]
Absolutní momenty lze definovat nejen pro celá čísla, ale i pro libovolná kladná reálná čísla , pokud příslušné integrály konvergují.
Poznámky
- Pokud jsou definovány momenty t. řádu, pak jsou definovány i všechny momenty nižších řádů
- Díky linearitě matematického očekávání lze centrální momenty vyjádřit jako počáteční:
.
Geometrický význam některých momentů
- rovná se rozptylu rozdělení a ukazuje rozptyl rozdělení kolem průměru.
- , která je vhodně normalizována, je numerickou charakteristikou symetrie rozdělení. Přesněji řečeno výraz
se nazývá
faktor šikmosti .
- ukazuje, jak těžké má distribuce ocasy. Hodnota
se nazývá
koeficient špičatosti rozdělení
Výpočet momentů
-li
a pro
diskrétní rozdělení s
funkcí pravděpodobnosti
-li
- Pokud je rozdělení takové, že je pro něj definována generující funkce momentů v nějakém okolí nuly, pak lze momenty vypočítat pomocí následujícího vzorce:
Zobecnění
Můžete také vzít v úvahu neceločíselné hodnoty . Moment považovaný za funkci argumentu se nazývá Mellinova transformace .
Můžeme uvažovat momenty vícerozměrné náhodné veličiny. Pak první moment bude vektor stejné dimenze, druhý - tenzor druhé řady (viz kovarianční matice ) nad prostorem stejné dimenze (i když lze uvažovat i stopu této matice, která dává skalár zobecnění rozptylu). Atd.
Viz také
Poznámky
- ↑ G. Kramer. Matematické metody statistiky. - 2. vyd. - M .: Mir, 1975. - S. 196-197, 284. - 648 s.