Přirozený logaritmus 2

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Přirozený logaritmus 2 v desítkovém zápisu (sekvence A002162 v OEIS ) je přibližně

\ln 2\cca 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

jak ukazuje první řádek v tabulce níže. Ze vztahu lze vypočítat logaritmus čísla 2 s jiným základem ( b ).

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

Desetinný logaritmus čísla 2 ( A007524 ) je přibližně roven

\log _{10}2\cca 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

Převrácená hodnota daného čísla je binární logaritmus 10:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\cca 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

Číslo	Přibližná hodnota přirozeného logaritmu	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	sekvence A002162 v OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	sekvence A002391 v OEIS
čtyři	1,38629436111989061883446424292	sekvence A016627 v OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	sekvence A016628 v OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	sekvence A016629 v OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	sekvence A016630 v OEIS
osm	2,07944154167983592825169636437	sekvence A016631 v OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	sekvence A016632 v OEIS
deset	2,30258509299404568401799145468	sekvence A002392 v OEIS

Podle Lindemann-Weierstrassovy věty je přirozený logaritmus jakéhokoli přirozeného čísla jiného než 0 a 1 (obecně pro jakékoli kladné algebraické číslo kromě 1) transcendentální číslo .

Není známo , zda je ln 2 normální číslo .

Řádkové zobrazení

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( série Mercator )

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ tfrac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 }{2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 }{2}}.

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\jméno operátora {Li} _{1}\left({\ frac {1}{2}}\vpravo).

( polylogaritmus )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n))}+{\frac {1}{4^{n} }}\vpravo){\frac {1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)))+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\right).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(zde γ označuje Euler-Mascheroniho konstantu , ζ je Riemannova zeta funkce ).

Někdy tato kategorie vzorců zahrnuje vzorec Bailey - Borwain - Pluff :

{\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\součet _{k=0 }^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1, (1){\big )}.\end{aligned}}

Reprezentace jako integrály

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ nebo ekvivalentně }}\int _{1}^{2} {\ frac {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gama .

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\jméno operátora {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac {\pi \ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ osmnáct}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

Jiné formy reprezentace čísel

Rozšíření Peirce má tvar ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Engelův rozklad ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

Expanze ve formě kotangens má tvar A081785

\ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\ cdots}).

Znázornění jako nekonečný součet zlomků [1] ( harmonická řada se střídáním znamének ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots .

Je také možné reprezentovat přirozený logaritmus 2 jako rozšíření Taylorovy řady :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Reprezentace jako zobecněný pokračující zlomek : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots )))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ tečky }} }}}}}}

Počítání jiných logaritmů

Pokud je známa hodnota ln 2 , pak pro výpočet logaritmů jiných přirozených čísel můžete sestavit logaritmy prvočísel a poté určit logaritmy smíšených čísel c na základě rozkladu na prvočinitele:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ ln 7+\cdots

Tabulka ukazuje logaritmy některých prvočísel.

prvočíslo	Přibližná hodnota přirozeného logaritmu	OEIS
jedenáct	2,39789527279837054406194357797	sekvence A016634 v OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	sekvence A016636 v OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	sekvence A016640 v OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	sekvence A016642 v OEIS
23	3,13549421592914969080675283181	sekvence A016646 v OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	sekvence A016652 v OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	sekvence A016654 v OEIS
37	3,61091791264422444436809567103	sekvence A016660 v OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	sekvence A016664 v OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	sekvence A016666 v OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	sekvence A016670 v OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	sekvence A016676 v OEIS
59	4,07753744390571945061605037372	sekvence A016682 v OEIS
61	4.11087386417331124875138910343	sekvence A016684 v OEIS
67	4,20469261939096605967007199636	sekvence A016690 v OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	sekvence A016694 v OEIS
73	4,29045944114839112909210885744	sekvence A016696 v OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	sekvence A016702 v OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	sekvence A016706 v OEIS
89	4,48863636973213983831781554067	sekvence A016712 v OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	sekvence A016720 v OEIS

Ve třetím kroku se vypočtou logaritmy racionálních čísel r = a / b jako ln r = ln a − ln b , logaritmy odmocnin: ln n √ c = 1/ n ln c .

Logaritmus 2 je užitečný v tom smyslu, že mocniny 2 jsou poměrně hustě rozmístěny: najít mocninu 2 i , která se blíží mocnině b j jiného čísla b , je relativně snadné.

Známé hodnoty

Toto je tabulka posledních záznamů o výpočtu čísel . Od prosince 2018 vypočítal více číslic než jakýkoli jiný přirozený logaritmus [3] [4] přirozeného čísla kromě 1. $\ln(2)$

datum	Počet platných číslic	Autoři výpočtu
7. ledna 2009	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4. února 2009	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21. února 2011	50 000 000 050	Alexander Yee
14. května 2011	100 000 000 000	Shigeru Kondo
28. února 2014	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12. července 2015	250 000 000 000	Ron Watkins
30. ledna 2016	350 000 000 000	Ron Watkins
18. dubna 2016	500 000 000 000	Ron Watkins
10. prosince 2018	600 000 000 000	Michael Kwok
26. dubna 2019	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
19. srpna 2020	1 200 000 000 100	Seungmin Kim [5] [6]

Poznámky

↑ Wellsi, Davide. Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . - Tučňák, 1997. - S. 29 . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case // Exper . Matematika. : deník. - 2004. - Sv. 13 . - str. 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher – Multi-Threaded Pi Program . www.numberworld.org . Získáno 19. února 2021. Archivováno z originálu dne 16. dubna 2015. (neurčitý)
↑ Přirozený protokol 2 . www.numberworld.org . Získáno 19. února 2021. Archivováno z originálu 9. července 2021. (neurčitý)
↑ y-cruncher – Multi-Threaded Pi Program . web.archive.org (15. září 2020). Datum přístupu: 19. února 2021. (neurčitý)
↑ Přirozený logaritmus 2 (Log(2) ) . Sběratel Polymath (19. srpna 2020). Získáno 19. února 2021. Archivováno z originálu dne 17. října 2020.

Literatura

Brent, Richard P. Rychlé vyhodnocení elementárních funkcí s vícenásobnou přesností // J. ACM : journal. - 1976. - Sv. 23 , č. 2 . - S. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
Uhler, Horace S. Přepočet a rozšíření modulu a logaritmů 2, 3, 5, 7 a 17 // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal . - 1940. - Sv. 26 . - S. 205-212 . - doi : 10.1073/pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. O výpočtu Eulerovy konstanty // Mathematics of Computation : deník. - 1963. - Sv. 17 . - S. 170-178 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Binární BBP-vzorce pro logaritmy a zobecněná Gaussova–Mersennova prvočísla (anglicky) // Journal of Integer Sequences : journal. - 2003. - Sv. 6 . — S. 03.3.7 . Archivováno z originálu 6. června 2011.
Gourevič, Boris; Guillera Goyaneová, Ježíši. Konstrukce binomických součtů pro π a polylogaritmické konstanty inspirované vzorci BBP // Applied Math. E-Notes: deník. - 2007. - Sv. 7 . - str. 237-246 .
Wu, Qiang. O lineární míře nezávislosti logaritmů racionálních čísel // Matematika počítání : deník. - 2003. - Sv. 72 , č. 242 . - S. 901-911 . - doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Přirozený logaritmus 2 ve Wolfram MathWorld .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal Logaritmická konstanta:log 2 . (neurčitý)

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) Zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický