Implicitní křivka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Implicitní křivka je rovinná křivka definovaná implicitní rovnicí týkající se dvou souřadnicových proměnných, obvykle označovaných x a y . Například jednotkový kruh je dán rovnicí . V obecném případě je jakákoli implicitní křivka dána rovnicí tvaru $x^{2}+y^{2}=1$

F(x,y)=0

pro nějakou funkci F dvou proměnných. Proto lze implicitní funkci považovat za množinu nul funkce dvou proměnných. " Implicitní" znamená, že rovnost nevyjadřuje ani řešení x proměnné y ani naopak.

Pokud je funkce polynom ve dvou proměnných, odpovídající křivka se nazývá algebraická a existují specifické metody pro její studium. $F(x,y)$

Rovinná křivka může být reprezentována v kartézských souřadnicích ( souřadnice x , y ) kteroukoli ze tří metod, z nichž jedna je výše uvedená implicitní rovnice. Jiný způsob - popis grafu funkce pomocí rovnosti , ve kterém je funkce explicitně reprezentována - se nazývá explicitní zobrazení. Třetím důležitým způsobem popisu křivky je parametrický popis, kde souřadnice x a y bodů křivky jsou reprezentovány dvěma funkcemi x ( t ), y ( t ) , a to jak ve formě explicitní reprezentace, tak v závislosti na společném parametr $y=f(x)$ $t.$

Příklady implicitních křivek:

rovný : $x+2y-3=0,$
obvod : $x^{2}+y^{2}-4=0,$
Semikubická parabola : $x^{3}-y^{2}=0,$
Cassini ovály (viz obrázek), $(x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{ 4})=0$
$\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$ (viz obrázek).

První čtyři příklady představují algebraické křivky, ale poslední křivka nikoli. První tři křivky jsou na rozdíl od čtvrtého a pátého příkladu jednoduchou parametrickou reprezentací. Pátý příklad ukazuje možnost složité geometrické struktury implicitní křivky.

Věta o implicitní funkci popisuje podmínky, za kterých lze implicitně řešit rovnost v x a/nebo v y, tj. za podmínek, za kterých lze legitimně psát nebo . Tato věta je klíčem k výpočtu důležitých geometrických vlastností křivky - tečny , normály a křivosti . V praxi mají implicitní křivky značnou nevýhodu – jejich vizuální znázornění je často obtížné. Existují však počítačové programy, které umožňují nakreslit implicitní křivku. $F(x,y)=0$ $x=g(y)$ $y=f(x)$

Implicitní křivku s rovnicí lze považovat za množinu úrovně s hodnotou 0 pro povrch (viz třetí obrázek). $F(x,y)=0$ $z=F(x,y)$

Naklonění a zakřivení

Obecně platí, že implicitní křivky nevyhovují funkčnímu testu svislou čárou (což znamená, že některé hodnoty x odpovídají více než jedné hodnotě y ), a proto křivka není funkční graf. Věta o implicitní funkci má však podmínku, že implicitní křivka je lokálně dána grafem funkce (zejména se křivka nesmí sama protínat). Pokud jsou konstitutivní vztahy v takových oblastech dostatečně hladké, mají implicitní křivky dobře definované sklony, tečné čáry, normálové vektory a křivky.

Existuje několik možných způsobů, jak vypočítat tyto veličiny pro implicitní křivku. Jednou z metod je použití implicitní derivace k výpočtu derivace y vzhledem k x . Navíc pro křivku danou implicitní rovnicí lze tyto vzorce vyjádřit přímo pomocí parciálních derivací funkce . Níže je použit následující zápis: parciální derivace (derivace vzhledem k x ), , (pro druhou derivaci vzhledem k x ), (pro smíšenou druhou parciální derivaci), $F(x,y)=0$ $F$ $F_{x}$ $F_{y}$ $F_{xx}$ ${\displaystyle F_{xy))$ $F_{yy}.$

Tečný a normálový vektor

Bod křivky se nazývá regulární , pokud první parciální derivace a zároveň nejsou rovny nule. $(x_0, y_0)$ $F_{x}(x_{0},y_{0})$ $F_{y}(x_{0},y_{0})$

Rovnice pro tečnu v pravidelném bodě je následující: $(x_{0}, y_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) =0,

takže sklon tečné čáry, a tedy i sklon křivky v tomto bodě, je

-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0}))).

Pokud je podmínka splněna v bodě , pak je křivka v tomto bodě svislá. $(x_{0}, y_{0})$ $F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)$

Pokud jsou obě derivace a v tomto bodě rovny nule , křivka není diferencovatelná a má singulární bod , buď vrchol , nebo průsečík. $F_{y}(x,y)=0$ $F_{x}(x,y)=0$

Normálový vektor ke křivce v bodě je dán rovností

\mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0 }))

(zde je vektor zapsán jako řetězec).

Zakřivení

Argumenty byly kvůli čitelnosti vynechány. Zakřivení v pravidelném bodě je dáno vzorcem $(x_{0}, y_{0})$ $\kappa$

\kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy)) {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}

[1] .

Odvození vzorců

Věta o implicitní funkci zaručuje existenci funkce v okolí bodu tak, že . $(x_{0}, y_{0})$ $F$ $F(x,f(x))=0$

Podle vzorce komplexní derivace jsou si derivace funkce rovny $F$

f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))))

f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_ {yy}}{F_{y}^{3}}}

(kde argumenty na pravé straně druhého vzorce byly pro snadnější čtení vynechány). $(x,f(x))$

Pokud do vzorců pro tečnu a zakřivení grafu vložíme derivace funkce , dostaneme explicitní rovnost $F$ $y=f(x)$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

(tangenciální čára)

\kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2)) }

(zakřivení).

Výhody a nevýhody implicitních křivek

Nevýhody

Významnou nevýhodou implicitní křivky je absence snadného způsobu výpočtu jednoho bodu, což je důležité pro vizualizaci křivky (viz další část).

Výhody

Implicitní reprezentace umožňují výpočet průsečíků - pokud je jedna křivka reprezentována implicitně a druhá je reprezentována parametricky, stačí k výpočtu průsečíků pouze jednoduchá (jednorozměrná) Newtonova iterace , na rozdíl od implicitně-implicitních a parametrických- parametrické případy (viz Průnik ).
Implicitní zobrazení umožňuje oddělit body mimo křivku znaménkem . To může být užitečné například při použití metod falešné pozice místo iterace. $F(x,y)=0$ $F(x,y)$
Je snadné vytvořit křivky, které jsou téměř geometricky podobné dané implicitní křivce , pouhým přidáním malého čísla: (viz část Smooth Fit ). $F(x,y)=0,$ $F(x,y)-c=0$

Použití implicitních křivek

V matematice hrají důležitou roli implicitní křivky ve formě algebraických křivek .

Kromě toho se implicitní křivky používají k vytváření křivek požadovaných geometrií. Zde jsou dva příklady.

Hladké aproximace

Konvexní polygony

Hladkou aproximaci konvexního mnohoúhelníku lze získat následovně: nechť jsou rovnice čar obsahujících hrany mnohoúhelníku, zatímco vnitřní body mnohoúhelníku dávají funkcím kladné hodnoty. Pak podmnožina implicitních křivek $g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n$ $g_i$

F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0

s vhodným malým parametrem je hladká (diferencovatelná) polygonová aproximace. Například křivky $C$

F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0

pro

c=0{,}03;\dotsc ;0{,}6

obsahují hladké aproximace mnohoúhelníku s 5 hranami (viz obrázek).

Dvojice čar

V případě dvou linek

F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0

dostaneme

tužka rovnoběžných čar , pokud jsou dané čáry rovnoběžné tužka hyperbol, které daly křivky jako asymptoty.

Například součin souřadnicových proměnných dává tužku hyperbol , pro které jsou souřadnicové osy asymptoty. $xy-c=0,\ c\neq 0$

Ostatní

Pokud použijeme jiné jednoduché implicitní křivky než přímky (kruhy, paraboly,...), získáme širokou škálu nových zajímavých křivek. Například,

F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0

(součin kruhového vzorce a přímkového vzorce - osa y) dává hladkou aproximaci půlkruhu (viz obrázek),

F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4) -c=0

(součin vzorců dvou kružnic) dává hladkou aproximaci dvou kružnic (viz obrázek).

Prolnutí křivek

CAD používá implicitní křivky k vytváření spojů křivek [ 2] [3] , což je speciální druh křivky, který umožňuje hladké spojení jedné křivky do druhé. Například,

F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0

tvoří spojovací křivky mezi dvěma kruhy

f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,

f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.

Metoda zaručuje spojitost tečen a zakřivení v tečných bodech (viz obrázek). dvě rovné čáry

g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0

definovat body kontaktu s kružnicemi. Parametr na obrázku je . $\mu$ $0{,}05;\dotsc ;0{,}2$

Izočáry dvou bodových nábojů

Izočáry dvou stejných bodových nábojů v bodech mohou být reprezentovány rovností $P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)$

f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c

={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2))))+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{ 2}+y^{2}}}}-c=0.

Křivky vypadají jako Cassini ovály , ale nejsou.

Vizualizace implicitní křivky

Pro vizualizaci implicitní křivky se obvykle definuje polygon na křivce a nakreslí se. U parametrické křivky je tento úkol jednoduchý – stačí vypočítat body odpovídající posloupnosti parametrických hodnot. Pro implicitní křivku je třeba vyřešit dva dílčí problémy:

určení prvního bodu na křivce poblíž daného počátečního bodu,
určení bodu na křivce vycházející ze známého bodu na křivce.

V obou případech je přirozené dát . V praxi je tento předpoklad porušen v jediném izolovaném bodě. $\operatorname {grad} F\neq (0,0)$

Bodový algoritmus

K vyřešení obou výše zmíněných problémů je potřeba program (který budeme nazývat ), který při daném bodu poblíž implicitní křivky najde bod ležící na této křivce: ${\mathsf {CPoint}}$ $Q_{0}=(x_{0},y_{0})$ $P$

(P1) Nastavili jsme

j=0

(P2) opakujte

(x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_ {x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}( x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\vpravo)

( Newtonův krok pro funkci ) (P3) , dokud nebude vzdálenost mezi body dostatečně malá.

g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{ j})\vpravo)\ .

(x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})

(P4) je bod na křivce poblíž počátečního bodu .

P=(x_{j+1},y_{j+1})

Q_0

Algoritmus sledování

Chcete-li vytvořit mnohoúhelník téměř stejný jako křivka, zvolte délku kroku a $s$

(T1) vyberte vhodný výchozí bod poblíž křivky (T2) definujte proudovou křivku programem

P_1

{\mathsf {CPoint}}

(T3) určete tečnu (viz výše), vyberte počáteční bod tečny oddělený délkou kroku (viz obrázek) a najděte druhý bod na křivce pomocí programu .

s

P_2

{\mathsf {CPoint}}

\cdots

Protože algoritmus nalézá body postupně podél křivky, nazývá se trasovací algoritmus .

Algoritmus sleduje pouze spojené části křivky. Pokud se implicitní křivka skládá z několika částí, měl by být algoritmus několikrát restartován z různých vhodných výchozích bodů.

Rastrový algoritmus

Pokud se implicitní křivka skládá z více nebo dokonce neznámých částí, může být vhodnější použít rasterizační algoritmus . Místo toho, aby rastrový algoritmus přesně sledoval křivku, pokryje celou křivku tolika body, že se spojí a vypadají jako křivka.

(R1) Vytvořte síť bodů (rastr) v oblasti, která nás zajímá v rovině xy. (R2) Pro každý pixel rastru provedeme algoritmus s počátečním bodem P a označíme výsledek.

P

{\mathsf {CPoint}}

Pokud je síť dostatečně hustá, výsledek aproximuje spojené části implicitní křivky. Pokud v budoucnu budete potřebovat polygon na křivce, můžete spustit algoritmus sledování na požadované části.

Implicitní prostorové křivky

Libovolná prostorová křivka definovaná dvěma rovnicemi

{\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix))

se nazývá implicitní prostorová křivka .

O bodu křivky se říká , že je pravidelný , pokud křížový součin gradientů a není v tomto bodě stejný: $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $G$ $(0,0,0)$

\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\název operátora {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \ jméno operátora {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);

Jinak se bod nazývá singulární (singulární). Vektor je tečný vektor křivky v bodě $\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Příklady:

$(1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0$

je rovný.

$(2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0$

je řez koulí rovinou, tedy kružnicí.

$(3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0$

je elipsa (úsek válce rovinou).

$(4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2} -9=0$

je průsečík koule a válce.

Informace o výpočtu bodů křivky a vizualizaci implicitní prostorové křivky naleznete v článku Průnik .

Viz také

Implicitní povrch

Poznámky

↑ Goldman, 2005 , str. 632.
↑ Hoffmann, Hopcroft, 1985 , str. 347-365.
↑ Hartmann, 1990 , s. 500-507.
↑ Taubin, 1994 .

Literatura

Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implicitní křivky a povrchy: Matematika, datové struktury a algoritmy. - Springer-Verlag, 2009. - ISBN 978-1-84882-405-8 .
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch. Trasování průsečíků ploch // Comp. Aided Geom. design. - 1988. - Vydání. 5 . - S. 285-307 .
C. Hoffmann, J. Hopcroft. Potenciální metoda prolínání povrchů a rohů // Geometric-Modeling / G. Farin (Ed). — Philadelphia: SIAM, 1985.
E. Hartmann. Prolnutí implicitních ploch s funkčními splajny // CAD,. - Butterworth-Heinemann, 1990. - T. 22 , no. 8 .
Goldman R. Vzorce křivek pro implicitní křivky a povrchy // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , no. 7 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
G. Taubin. Aproximace vzdálenosti pro rastrování implicitních křivek // ACM transakce na grafice. - 1994. - T. 13 , č. 1 .
Geometrie a algoritmy pro COMPUTER AIDED DESIGN Archivováno 30. října 2017 na Wayback Machine

Odkazy

Famous Curves Archived 13. dubna 2006 na Wayback Machine