Normalizace (algebra)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Normalizace je mapování prvků pole nebo integrálního kruhu do nějakého uspořádaného pole s následujícími vlastnostmi: $F$ $P$ $x\mapsto\|x\|$

1) a pouze kdy

\|x\|\geqslant 0

\|x\|=0

x=0

\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|

Pokud je místo 3) splněna přísnější podmínka:

3a) , pak se ocenění nazývá nearchimedovské .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

Hodnota se nazývá norma prvku . Pokud je uspořádané pole polem reálných čísel , pak se ocenění často označuje jako absolutní hodnota. $\|x\|$ $X$ $P$ $\mathbb {R}$

Normy a jsou považovány za ekvivalentní , pokud je ekvivalentní . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$ $\|x\|_{1}<1$ $\|x\|_{2}<1$

Příklady normalizací

Normalizace , pod kterou , pro zbytek . Taková normalizace se nazývá triviální. $\|0\|=0$ $\|x\|=1$ $X$
Obvyklá absolutní hodnota v oboru reálných čísel a modul v oboru komplexních čísel jsou normalizace. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Nechť je pole racionálních čísel a nechť je nějaké prvočíslo . Jakékoli racionální číslo může být reprezentováno jako zlomek , kde a nejsou násobky . Je možné definovat následující normalizaci . Toto ocenění není archimédské a nazývá se p-adické ocenění . $\mathbb {Q}$ $p$ $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ $A$ $b$ $p$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

Podle Ostrovského teorému je jakákoli netriviální norma ekvivalentní buď absolutní hodnotě nebo p-adickému ocenění. $\mathbb {Q}$ $|x|$

Vlastnosti normy

$|1|=|-\!1|=1$
Pro normalizaci reálných hodnot je vlastnost splněna (zde se předpokládá, že na pole reálných čísel je nastavena obvyklá norma - modul čísla ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
Ocenění se skutečnou hodnotou není archimédské tehdy a pouze tehdy, pokud existuje kladné číslo , takže pro jakýkoli součet prvků identity pole : $A$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Nechť je tato podmínka splněna. Pak pro libovolné prvky a z pole máme: $X$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Vezmeme-li odmocninu z obou částí a přejdeme k limitě v , získáme podmínku 3a). $n\to\infty$ Opak je zřejmý.

Normované pole jako metrický prostor

Z vlastností 1-3 okamžitě plyne, že když definujeme vzdálenost mezi dvěma prvky normovaného pole s reálnou hodnotou jako normu rozdílu , změníme jej na metrický prostor , v případě nearchimedovské normy na ultrametrický prostor . Různé normy definují různé metriky. Ekvivalentní normy definují stejnou topologii v . $F$ $\|xy\|$ $F$

Doplnění

Stejně jako u každého metrického prostoru lze zavést koncept úplnosti a dokázat , že jakékoli hodnotné pole je izomorfně začleněno do úplného hodnotného pole , tj. existuje izomorfismus . Norma v pokračuje v normě v , to znamená pro každou z : , a je hustá v vzhledem k této normě. Každé takové pole je jednoznačně definováno až do izomorfismu, který zachovává normy ( izometrie ) a je totožný s ; tomu se říká dokončení pole . $F$ $F^{*}$ $i:F\rightarrow F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $X$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Příklad. Dokončením oboru racionálních čísel s p-adickou metrikou je obor p-adických čísel . ${\mathbb {Q}}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Exponenciální normalizace

Nechť je mapování z multiplikativní skupiny polí do nějaké dobře uspořádané abelovské skupiny , např. $proti$ $K^{*}$

jeden)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

Je také vhodné předefinovat tuto funkci na nulu: . Skupinová operace on je definována následovně: for any , je uspořádáno tak, aby bylo větší než všechny prvky původní skupiny. V tomto případě zůstávají vlastnosti 1) a 2) pravdivé. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $A$ $\infty$

V Bourbakiho terminologii se funkce s takovými vlastnostmi nazývá ocenění . Také termín „normalizace“ pro takovou funkci používají Atiyah a McDonald [1] a Leng. [2] Někteří autoři však opouštějí termín „normalizace“ pro funkci, která má vlastnosti uvedené na začátku tohoto článku, a Bourbakiho valuace se nazývá exponenciální valuace . Rozsah hodnot mapování se nazývá oceňovací skupina a množina těch prvků pole , pro které je oceňovací kruh (zápis - ), lze snadno ověřit, že se skutečně jedná o kruh. $proti$ $X$ $K$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

Diskrétní normalizace je exponenciální normalizace, což je mapování na aditivní skupinu celých čísel. V tomto případě se oceňovací prstenec nazývá diskrétní oceňovací prstenec .

Poznámky

↑ Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry, str. 115.
↑ Leng S. Algebra, str. 337.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. — M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.