Inverzní problém

Inverzní problém je typ problému, který se často objevuje v mnoha oborech vědy , kdy hodnoty parametrů modelu musí být získány z pozorovaných dat.

Příklady inverzních problémů lze nalézt v následujících oblastech: geofyzika , astronomie , lékařské zobrazování , počítačová tomografie , dálkový průzkum Země , spektrální analýza , teorie rozptylu a problémy NDT .

Inverzní problémy jsou špatně postavené problémy. Ze tří podmínek dobře položeného problému (existence řešení, jedinečnost řešení a jeho stabilita ) je v inverzních úlohách nejčastěji porušena poslední. Ve funkcionální analýze je inverzní problém reprezentován jako mapování mezi metrickými prostory . Inverzní úlohy jsou obvykle formulovány v nekonečně rozměrných prostorech, ale omezení na konečnost měření a účelnost výpočtu konečného počtu neznámých parametrů vede ke změně problému v diskrétní formě. V tomto případě se používá metoda regularizace , aby se tomu zabránilorekvalifikace .

Lineární inverzní problém

Lineární inverzní problém lze popsat takto:

\ d=G(m)

kde je lineární operátor , který popisuje explicitní vztahy mezi daty a parametry modelu a představuje fyzický systém. V případě diskrétního lineárního inverzního problému popisujícího lineární systém a jsou vektory , což umožňuje použít následující reprezentaci problému: $G$ $d$ $m$

\ d=Gm

kde je matice . $G$

Příklady

Příkladem lineárního inverzního problému je Fredholmova integrální rovnice prvního řádu.

d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy

Pro v podstatě hladký operátor je operátor definovaný výše kompaktní na takových Banachových prostorech , jako jsou Spaces . I když je mapování jedna ku jedné , inverzní funkce nebude spojitá . I malé chyby v datech se tak v řešení značně zvětší . V tomto ohledu bude inverzní problém určit z naměřených dat nesprávný. $G$ $L^{p}$ $d$ $m$ $m$ $d$

Pro získání numerického řešení je nutné aproximovat integrál pomocí numerické integrace a diskrétních dat. Výsledný systém lineárních rovnic bude špatně položený problém.

Radonova transformace je také příkladem lineárního inverzního problému.

Nelineární inverzní problém

V nelineárních inverzních úlohách jsou kladeny složitější vztahy mezi daty a modelem, které jsou popsány rovnicí:

\d=G(m).

Zde je nelineární operátor, který nelze redukovat na lineární mapování, které se převádí na data. Lineární inverzní úlohy byly z teoretického hlediska zcela vyřešeny na konci 19. století , z nelineárních byla do roku 1970 řešena pouze jedna třída problémů - problém zpětného rozptylu. Významně přispěla ruská matematická škola ( Kerin , Gelfand , Levitan ). $G$ $m$

Odkazy

Mezinárodní vědecké časopisy

Literatura

Goltsman F. M. Statistické modely interpretace. - M., Nauka, 1971. - 323 s.