Jednotný hvězdný mnohostěn je samoprotínající se uniformní mnohostěn . Tyto mnohostěny se také nazývají nekonvexní mnohostěny , zdůrazňující vlastní průnik. Každý mnohostěn může obsahovat plochy hvězdicového mnohoúhelníku nebo tvary vrcholů hvězdy , ale může obsahovat obojí.
Kompletní sada 57 neprizmatických uniformních hvězdicových mnohostěnů obsahuje 4 pravidelné, nazývané Kepler-Poinsotova tělesa , 5 kvazipravidelných a 48 polopravidelných.
Existují také dvě nekonečné sady homogenních hvězdicových hranolů a antihranolů .
Stejně jako (nedegenerované) hvězdicové mnohoúhelníky (které mají hustotu větší než 1) odpovídají kruhovým mnohoúhelníkům s překrývajícími se částmi, hvězdicové mnohostěny, které neprocházejí středem, mají hustotu větší než 1 a odpovídají sférickým mnohostěnům . s překrývajícími se částmi. Existuje 48 takových neprizmatických jednotných hvězdných mnohostěnů. Zbývajících 9 neprizmatických uniformních hvězdných mnohostěnů má plochy procházející středem, jsou semipolyedry a neodpovídají sférickým mnohostěnům, protože střed nelze jednoznačně promítnout na kouli.
Nekonvexní tvary jsou konstruovány ze švarcsystémů .
Všechny níže uvedené trojúhelníky jsou seskupeny podle jejich skupin symetrie a vnitřně seskupeny podle uspořádání vrcholů.
Pravidelné mnohostěny jsou označeny svými symboly Schläfli . Jiné, nepravidelné jednotné mnohostěny jsou označeny konfigurací vrcholu nebo indexem jednotného mnohostěnu (Uniform polyhedron index, U(1-80)).
Poznámka: Pro nekonvexní formy je další popis uveden níže Například nerovnoměrné zkosení (odstranění hran) může vytvořit obdélníky , kde jsou odstraněny hrany, spíše než čtverce .
Viz prizmatický jednotný mnohostěn .
Existuje jeden nekonvexní druh, tetrahemihexahedron , který má čtyřstěnnou symetrii (se základní oblastí Möbiova trojúhelníku (3 3 2)).
Existují dva schwartzovské trojúhelníky , ze kterých jsou vytvořeny jedinečné nekonvexní homogenní mnohostěny - pravoúhlý trojúhelník (3/2 3 2) a jeden obecný trojúhelník (3/2 3 3). Trojúhelník (3/2 3 3) generuje oktahemioktaedr , který je zobrazen níže v sekci o oktaedrické symetrii .
| Umístění vrcholů ( Konvexní trup ) |
Nekonvexní pohledy | |
|---|---|---|
Čtyřstěn |
||
Rektifikovaný čtyřstěn Octahedron |
(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2 | |
zkrácený čtyřstěn |
||
Zkosený čtyřstěn ( Cuboctahedron ) |
||
Zkrácený čtyřstěn ( Zkrácený osmistěn ) |
||
Snub čtyřstěn ( Ikosahedr ) |
||
Existuje 8 konvexních tvarů a 10 nekonvexních s oktaedrickou symetrií (se základní oblastí Möbiova trojúhelníku (4 3 2)).
Existují čtyři schwartzovské trojúhelníky , které tvoří nekonvexní tvary, dva obdélníkové (3/2 4 2) a (4/3 3 2) a dva obecné (4/3 4 3) a (3/2 4 4).
| Umístění vrcholů ( Konvexní trup ) |
Nekonvexní pohledy | ||
|---|---|---|---|
Krychle |
|||
Osmistěn |
|||
Kuboktaedr |
(6.4/3.6.4) 4/3 4 | 3 |
(6.3/2.6.3) 3/2 3 | 3 | |
komolá krychle |
4,8/3,4/3,8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
(8/3.3.8/3.4) 3 4 | 4/3 |
(4.3/2.4.4) 3/2 4 | 2 |
zkrácený osmistěn |
|||
Rhombicuboktaedron |
(4.8.4/3.8) 2 4 (3/2 4/2) | |
(8.3/2.8.4) 3/2 4 | čtyři |
(8/3.8/3.3) 2 3 | 4/3 |
Nehomogenní zkrácený kuboktaedr |
(4.6.8/3) 2 3 4/3 | | ||
Nehomogenní zkrácený kuboktaedr |
(8/3.6.8) 3 4 4/3 | | ||
snub kostka |
|||
Existuje 8 konvexních forem a 46 nekonvexních s ikosaedrickou symetrií (se základní doménou Möbiův trojúhelník (5 3 2)). (nebo 47 nekonvexních tvarů, pokud je zahrnuta figurka Skilling). Některé nekonvexní druhy tupých mají zrcadlovou vrcholovou symetrii.
| Umístění vrcholů ( Konvexní trup ) |
Nekonvexní pohledy | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
dvacetistěn |
{5,5/2} |
{5/2,5} |
{3,5/2} | |||||
Nehomogenní Zkrácený dvacetistěn 2 5 |3 |
U37 2 5/2 | 5 |
U61 5/2 3 | 5/3 |
U67 5/3 3 | 2 |
U73 2 5/3 (3/2 5/4) | | ||||
Nehomogenní Zkrácený dvacetistěn 2 5 |3 |
U38 5/2 5 | 2 |
U44 5/3 5 | 3 |
U56 2 3 (5/4 5/2) | | |||||
Nehomogenní Zkrácený dvacetistěn 2 5 |3 |
U32 | 2. 5. 3 3 | |||||||
Ikosidodekaedr 2 | 3 5 |
U49 3/2 3 | 5 |
U51 5/4 5 | 5 |
U54 2 | 3 5/2 |
U70 5/3 5/2 | 5/3 |
U71 3 3 | 5/3 |
U36 2 | 5 5/2 |
U62 5/3 5/2 | 3 |
U65 5/4 5 | 3 |
Zkrácený dvanáctistěn 2 3 | 5 |
U42 |
U48 |
U63 | |||||
Nehomogenní zkrácený dvanáctistěn |
U72 | |||||||
dvanáctistěn |
{5/2,3} |
U30 |
U41 |
U47 | ||||
Rhombicosidodecahedron |
U33 |
U39 |
U58 | |||||
Hranatý dvanáctistěn |
U55 | |||||||
Nehomogenní Rhombicosidodecahedron |
U31 |
U43 |
U50 |
U66 | ||||
Nehomogenní rhombicosidodecahedron |
U75 |
U64 |
Skillingovo tělo (viz níže) | |||||
Nehomogenní kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr |
U45 | |||||||
Nehomogenní kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr |
U59 | |||||||
Nehomogenní kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr |
U68 | |||||||
Nehomogenní tupý dvanáctistěn |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 | ||
Dalším nekonvexním mnohostěnem je velký bi-snub birombododecahedron , také známý jako Skilling solid , který je vertexově homogenní, ale má sdílené páry hran společných plochám, takže čtyři plochy mají jednu společnou hranu. Někdy bývá řazen mezi jednotné mnohostěny, ale ne vždy. Tělo má I h symetrii .
Coxeter pomocí Wythoffovy konstrukce určil řadu degenerovaných stelovaných polytopů, které mají překrývající se hrany nebo vrcholy. Mezi tyto degenerované formy patří: