Ortogonální matice

Ortogonální matice je čtvercová matice s reálnými prvky, jejíž výsledek vynásobení transponovanou maticí se rovná matici identity [1] : $A$ $A^{T}$

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

nebo ekvivalentně jeho inverzní matice (která nutně existuje) je rovna transponované matici:

A^{-1}=A^{T}.

Komplexním analogem ortogonální matice je unitární matice .

Ortogonální matice s determinantem se nazývá speciální ortogonální . $+1$

Vlastnosti

Ortogonální matice je unitární ( ) a tedy normální ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Sloupce a řádky ortogonální matice tvoří systémy ortonormálních vektorů , to znamená:

{\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk))

{\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk))

kde , je pořadí matice a je Kroneckerův symbol .

i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}

n

\delta _{{jk}}

Jinými slovy, bodový součin řádku se sebou samým je 1 as jakýmkoli jiným řádkem je 0. Totéž platí pro sloupce.

Determinant ortogonální matice je , což vyplývá z vlastností determinantů: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
Sada matic ortogonálního řádu nad polem tvoří násobící grupu , tzv. ortogonální grupu , která se značí nebo (pokud je vynecháno, předpokládá se, že je ). $n$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\mathbb{R}$
Lineární operátor , daný ortogonální maticí, mapuje ortonormální základ lineárního prostoru na ortonormální.
Rotační matice je speciální ortogonální. Odrazová matice je ortogonální.
Jakákoli skutečná ortogonální matice je podobná blokově diagonální matici s bloky formuláře

(\pm1)

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - příklad rotační matice

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - příklad permutační matice

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma)&\cos(\alpha)\cos(\beta)&\cos(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ je rotační matice vyjádřená pomocí Eulerových úhlů

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra. - 4. vyd. - M: Nauka, 1999. - s. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .