Pythagorejský systém

Pythagorejský systém je hudební systém, jehož teorie je spojena s pythagorejskou školou harmoniky . Od pozdní antiky ji významní hudební teoretici ( Nikomachus , Iamblichus , Boethius a další) připisovali přímo Pythagorovi .

Abstraktní matematická myšlenka pythagorejského systému (jako řetězce kvint) se vyvinula v době západoevropského baroka .

V některých vědeckých článcích je také označován jako „pythagorejský systém“ .

Obvykle je reprezentován jako posloupnost kvint (nebo kvart), například takto (řetězec 6 kvint od zvuku fa ):

F - C - G - D - A - E - H

nebo jako diatonická stupnice:

C		D		E		F		G		A		H		C
jeden		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	Celý tón		Celý tón		Limma		Celý tón		Celý tón		Celý tón		Limma
	8 : 9		8 : 9		243 : 256		8 : 9		8 : 9		8 : 9		243 : 256
	203,91 c		203,91 c		90,22 c		203,91 c		203,91 c		203,91 c		90,22 c

V západní hudbě je Pythagorejská stupnice považována za základ nejen pro starověkou monodii , ale také pro polyfonní hudbu středověku. Hudební teoretici stále pokračují v popisu intervalů založených na pythagorejském ladění. , i když zpěv a poté instrumentální vícehlasá tonální hudba začala ovládat čisté ladění nejpozději v 16. století . Ve srovnání s posledně jmenovaným je pythagorejština stupnicí oktáva-kvinta generovaná přirozenými intervaly čisté oktávy (1:2) a čisté kvinty (2:3) [1] . Pro všechny, kdo se podílejí na intervalových relacích Pythagorejské soustavy čísel, jsou rozklady založeny na prvočíslech s hodnotou ne větší než 3. Z tohoto důvodu, hlavně v anglicky mluvícím prostředí, se Pythagorejský systém také nazývá limit ladění 3 ( ang. 3-limitní ladění ).

Pythagorejská tabulka intervalů

Následující tabulka ukazuje pythagorejské intervaly až do oktávy a získané v ne více než 18 pětinách. Diatonické intervaly (tj. ty, které se vyskytují v pythagorejské 7-krokové diatonice a jsou získány v ne více než 6 pátých krocích) jsou vyznačeny tučně. Chromatické intervaly jsou značeny pravidelným typem (vznikají spolu s diatonickými intervaly ve 12stupňové pythagorejské oktávové stupnici a získávají se v 7-11 pátých krocích). Zbytek, "dichromatické" (nebo "enharmonické") intervaly získané 12-18 pátými kroky, jsou vyznačeny kurzívou. Ty druhé (s výjimkou pythagorejské čárky odpovídající rozšířené septimě bez oktávy a zmenšené žádné) odpovídají dvakrát zvětšeným a zmenšeným diatonickým intervalům.

Zkratky: "m." - malý; "b." - velký; "mysl." - snížený; "uv." - zvětšený.

Sloupce Q a O v tabulce ukazují počet kvint a oktáv, jejichž posunutí má za následek daný interval (v tomto případě kladná čísla odpovídají posunutí nahoru a záporná čísla dolů). Například hodnoty Q = −9 a O = 6 odpovídají redukované septimě, to znamená, že redukovaná septima se získá posunutím o 9 kvint dolů a 6 oktáv nahoru od daného zvuku (výšky); má tedy poměr zvukových frekvencí rovný

\left({\frac 32}\right)^{{-9}}\times \left({\frac 21}\right)^{6}=2^{{15}}\cdot 3^{{- 9))={\frac {32768}{19683}}.

Zároveň je číslo O (pro intervaly menší než oktáva) jednoznačně určeno číslem Q, které je na něm ve funkční závislosti , určené vzorcem:

{\mathrm {O}}=-\lpodlaží {\mathrm {Q}}\times (\log _{2}{3}-1)\rpodlaží,

kde je celočíselná část čísla [2] . $\lpatro x\rpatro$ $X$

Dále je každý z intervalů uvedených v tabulce jednoznačně reprezentován jako součet T celých tónů (uvedených ve sloupci T ), L limm (sloupec L ) a K Pythagorejských komunikací (sloupec K ), v rámci omezení

0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L\leqslant 1,\qquad -2\leqslant K\leqslant 1

Jak je vidět z tabulky, pro diatonické intervaly nastává jedna ze tří dvojic rovností: a , nebo a , nebo a (to znamená, že diatonický interval je vždy roven buď celému počtu tónů, nebo celému číslu). tónů s přidanou limma nebo méně než celočíselný počet tónů na pythagorejskou komunikaci). Pro chromatické intervaly navíc vztahy a , nebo a , a "dichromatické" (kurzívou) - také a , nebo a . $L=0$ $K=0$ $L=1$ $K=0$ $L=0$ $K={-1}$ $L=1$ $K=1$ $L=1$ $K={-1}$ $L=0$ $K=1$ $L=0$ $K={-2}$

název	Q	Ó	T	L	K	přístup	Hodnota v centech	Krok od c	Další příklady
unisono, prima	0	0	0	0	0	1:1	0,00	C
Pythagorejská čárka (zvýšená septima bez oktávy) [3]	12	-7	0	0	jeden	531441:524288	23,46	Jeho	des-cis, fes-e, a-gisis
dvakrát mysl. Třetí	-17	deset	0	jeden	-jeden	134217728:129140163	66,76	eses [4]	cis-eses, eis-ges
limma , m. druhý, moll (diatonický) půltón	-5	3	0	jeden	0	256:243	90,22	des	e-f, cis-d, des-eses
apotoma , uv. prima, durový (chromatický) půltón	7	-čtyři	0	jeden	jeden	2187:2048	113,69	cís	cis-cisis, des-d, eses-es
mysl. Třetí	-deset	6	jeden	0	-jeden	65536:59049	180,45	eses	cis-es, e-ges
celý tón b. druhý	2	-jeden	jeden	0	0	9:8	203,91	d	d-e, e-fis, B-c, des-es, cis-dis
dvakrát uv. prima	čtrnáct	-osm	jeden	0	jeden	4782969:4194304	227,37	cisis	ces-cis, deses-d
dvakrát mysl. kvart	-patnáct	9	jeden	jeden	-jeden	16777216:14348907	270,67	poplatky	cis-fes, fis-b, cisis-f
půlditon, m. třetí	-3	2	jeden	jeden	0	32:27	294,13	es	d-f, es-ges
uv. druhý	9	-5	jeden	jeden	jeden	19683:16384	317,60	dis	des-e, es-fis
mysl. kvart	-osm	5	2	0	-jeden	8192:6561	384,36	fes	cis-f, fis-b, dis-ges
deaton, b. Třetí	čtyři	-2	2	0	0	81:64	407,82	E	d-fis, eis-gisis
dvakrát uv. druhý	16	-9	2	0	jeden	43046721:33554432	431,28	disis	ces-dis, es-fisis
dvakrát mysl. pěticent	-13	osm	2	jeden	-jeden	2097152:1594323	474,58	geses	cis-ges, disis-a
kvart	-jeden	jeden	2	jeden	0	4:3	498,04	F	d-g, ces-fes
uv. Třetí	jedenáct	-6	2	jeden	jeden	177147:131072	521,51	eis	des-fis, deses-f
dvakrát mysl. šestý	-osmnáct	jedenáct	3	0	-2	536870912:387420489	564,81	osli [4]	cisis-as, cis-ases
mysl. kvinta ( commatic tritone [5] )	-6	čtyři	3	0	-jeden	1024:729	588,27	ges	cis-g, H-f, e-b
triton, uv. kvart	6	-3	3	0	0	729:512	611,73	fis	f-b, des-g
dvakrát uv. Třetí	osmnáct	-deset	3	0	jeden	387420489:268435456	635,19	eisis	des-fisis, eses-gis
mysl. šestý ( vlčí pátý Pythagorejský systém)	-jedenáct	7	3	jeden	-jeden	262144:177147	678,49	osy	cis-as, Gis-es
pěticent	jeden	0	3	jeden	0	3:2	701,96	G	d-a, dis-ais
dvakrát uv. kvart	13	-7	3	jeden	jeden	1594323:1048576	725,42	fisis	des-gis, deses-a
dvakrát mysl. sedmý	-16	deset	čtyři	0	-2	67108864:43046721	768,72	heses [4]	cis-heses, cisis-b
m. šestý	-čtyři	3	čtyři	0	-jeden	128:81	792,18	tak jako	d-b, dis-h
uv. pátý (tetraton)	osm	-čtyři	čtyři	0	0	6561:4096	815,64	gis	des-a, eses-b
mysl. sedmý	-9	6	čtyři	jeden	-jeden	32768:19683	882,40	heses	cis-b, Gis-f
b. šestý	3	-jeden	čtyři	jeden	0	27:16	905,87	A	d-h, Es-c
dvakrát uv. pěticent	patnáct	-osm	čtyři	jeden	jeden	14348907:8388608	929,33	gisis	des-ais, deses-a
dvakrát mysl. oktáva	-čtrnáct	9	5	0	-2	8388608:4782969	972,63	ceses 1	Dis—des, Disis—d
m. septima	-2	2	5	0	-jeden	16:9	996,09	b	G-f, Des-ces
uv. šestý (pentaton)	deset	-5	5	0	0	59049:32768	1019,55	ais	des-h, deses-b
mysl. oktáva	-7	5	5	jeden	-jeden	4096:2187	1086,31	ces 1	cis-c, des-deses
b. sedmý	5	-2	5	jeden	0	243:128	1109,78	h	cis-jeho
dvakrát uv. šestý	17	-9	5	jeden	jeden	129140163:67108864	1133,24	aisis	ces-ais, eses-cis
mysl. nona	-12	osm	6	0	-2	1048576:531441	1176,54	deses 1	Dis-es, Eis-f
oktáva	0	jeden	6	0	-jeden	2:1	1200,00	c 1

Viz také

Odkazy

Margo Schulterová . Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony Archived 12. srpna 2013 na Wayback Machine
[https://web.archive.org/web/20110920000424/http://www.kholopov.ru/rml-interv.pdf Archivováno 20. září 2011 na Wayback Machine Hugo Riemann Interval Tables ]

Poznámky

↑ Přirozené intervaly nebo intervaly přirozené stupnice mezi 1. a 2., 2. a 3. podtónem jsou označeny poměry 1:2 a 2:3.
↑ Tento vzorec získáme logaritmováním nerovnosti , která jednoznačně určuje závislost veličiny O na veličině Q. $1\leqslant \left({\frac 32}\right)^{{{\mathrm Q}}}\cdot 2^{{{\mathrm O}}}<2$
↑ Rozšířená sedmina pythagorejské stupnice (například c - his ) je širší než oktáva ( c - c 1 ) u pythagorejské komunikace.
↑ 1 2 3 Psaní písmenného označení stupně odděleného od c daným intervalem (dvakrát zmenšená třetina, šestka nebo sedma) vyžaduje označení "trojitého bytu" ( -eseses ) označujícího zmenšení odpovídajícího diatonického stupně ( v tomto případě e , a a h ) na tři chromatické půltóny; příklady stejných mezer mezi ostatními kroky, které nevyžadují "trojité náhodné znaky", viz sloupec Další příklady.
↑ Tedy triton zmenšený o (pythagorejskou) čárku.

hudební stupnice
Pythagorejský systém přirozené ladění Střední tón Rovný temperament