Limit posloupnosti čísel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Limita číselné posloupnosti je limita posloupnosti prvků číselného prostoru. Číselný prostor je metrický prostor , ve kterém je vzdálenost definována jako modul rozdílu mezi prvky. Číslo se proto nazývá limita posloupnosti , pokud pro libovolnou existuje číslo závislé na , takže pro libovolnou nerovnost platí . $A$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

V případě komplexních čísel je existence limity posloupnosti ekvivalentní existenci limit odpovídajících posloupností reálných a imaginárních částí komplexních čísel.

Limita (číselné posloupnosti) je jedním ze základních pojmů matematické analýzy . Každé reálné číslo může být reprezentováno jako limit posloupnosti aproximací k požadované hodnotě. Číselný systém poskytuje takovou posloupnost upřesnění. Celá čísla a racionální čísla jsou popsána periodickými posloupnostmi aproximací, zatímco iracionální čísla jsou popsána neperiodickými posloupnostmi aproximací. [1] V numerických metodách , kde se používá reprezentace čísel s konečným počtem znamének, hraje zvláštní roli volba systému aproximací. Kritériem kvality systému aproximací je míra konvergence. V tomto ohledu se ukazuje, že reprezentace pokračujících zlomků čísel je efektivní .

Historie

Pojem limity posloupnosti používal Newton ve druhé polovině 17. století a matematici 18. století , jako Euler a Lagrange , ale limitu chápali intuitivně. První přesné definice limity posloupnosti podal Bolzano v roce 1816 a Cauchy v roce 1821 .

Definice

Číslo se nazývá limita číselné posloupnosti, pokud je posloupnost nekonečně malá, to znamená, že všechny její prvky, počínaje některými, jsou menší než jakékoli předem přijaté kladné číslo v absolutní hodnotě. $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Šipka doleva ~\forall \varepsilon >0~\existuje N(\varepsilon )\v \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(pro každé malé epsilon existuje číslo, od kterého se prvky posloupnosti budou lišit od limity o méně než epsilon)

Pokud je číslo limitem číselné posloupnosti , pak se také říká, že posloupnost konverguje k . Jestliže žádné reálné číslo není limitou posloupnosti , nazývá se divergentní . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $A$ $\{x_n\}$

U některých posloupností se předpokládá, že limita je nekonečno . Jmenovitě říkají, že posloupnost má tendenci k nekonečnu , jestliže se pro jakékoli reálné číslo všechny členy posloupnosti, počínaje některými, ukáží být větší než toto číslo v absolutní hodnotě. Formálně, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \existuje N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Navíc, pokud všechny prvky posloupnosti směřující k nekonečnu, počínaje určitým číslem, mají kladné znaménko, pak říkají, že limita takové posloupnosti je plus nekonečno .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Šipka doleva ~ \forall E > 0 ~ \existuje N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Šipka doprava x_n > E

Pokud mají prvky posloupnosti inklinující k nekonečnu, počínaje určitým číslem, záporné znaménko, pak říkají, že limita takové posloupnosti je rovna mínus nekonečnu .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Šipka doleva ~ \forall E > 0 ~ \existuje N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Šipka doprava x_n < -E

Jakákoli posloupnost směřující k nekonečnu je neomezená . Opak však neplatí.

Částečná limita posloupnosti je limita jedné z jejíchposloupností.

Horní mez posloupnosti je největší z jejích mezních bodů (což je ekvivalentní největší dílčí mez).

Dolní mez posloupnosti je nejmenší z jejích mezních bodů.

Notace

Skutečnost, že posloupnost konverguje k číslu , je indikována jedním z následujících způsobů: $\{x_n\}$ $A$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

nebo

$x_n ~ \xšipka doprava[n \to \infty]{} ~ a$

Vlastnosti

Pro limitu posloupností reálných čísel existují určité rysy . [2]

Mohou být uvedeny alternativní definice limity posloupnosti. Například nazvat limitu číslem v jakémkoli okolí, v němž je nekonečně mnoho prvků posloupnosti, zatímco mimo takovéto sousedství je pouze konečný počet prvků. Limitou posloupnosti tedy může být pouze limitní bod množiny jejích prvků. Tato definice souhlasí s obecnou definicí limity pro topologické prostory.

Tato definice má nevyhnutelný nedostatek: vysvětluje, co je to limita, ale nedává způsob, jak ji vypočítat, ani informace o její existenci. To vše je odvozeno z následujících (definicí prokazatelných) vlastností limity.

Vlastnosti

Jedinečnost limitu.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Aritmetické vlastnosti

přičemž limita numerické posloupnosti je lineární , to znamená, že vykazuje dvě vlastnosti lineárního zobrazení.
- Aditivita . Limita součtu číselných posloupností je součtem jejich limit, pokud každá z nich existuje. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Jednotnost . Konstantu lze vyjmout pod znaménkem limitu. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Limita součinu číselných posloupností je faktorizována součinem limit, pokud každá z nich existuje. $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Limita poměru číselných posloupností je poměrem jejich limit, pokud tyto limity existují a dělitelská posloupnost není nekonečně malá. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Vlastnosti zachování objednávky

Pokud všechny prvky konvergentní posloupnosti, počínaje nějakým číslem, nepřekročí nějaké číslo, pak limita této posloupnosti také nepřekročí toto číslo. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Pokud některé číslo nepřesahuje všechny prvky konvergentní posloupnosti, počínaje nějakým číslem, pak také nepřekračuje limit této posloupnosti. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Pokud nějaké číslo striktně překračuje všechny prvky konvergentní posloupnosti, počínaje nějakým číslem, pak limit této posloupnosti toto číslo nepřekročí. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Pokud všechny prvky konvergentní posloupnosti, počínaje nějakým číslem, striktně překračují nějaké číslo, pak toto číslo nepřekračuje limit této posloupnosti. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Pokud od nějakého čísla všechny prvky jedné konvergentní posloupnosti nepřekročí odpovídající prvky jiné konvergentní posloupnosti, pak limita první posloupnosti nepřekročí limitu druhé. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Pro numerické posloupnosti platí věta o dvou policistech (princip oboustranného omezení). $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \ leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Další vlastnosti

Konvergentní číselná posloupnost má pouze jednu limitu. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Šipka doprava ~ a = b$

Uzavření . Pokud všechny prvky konvergentní číselné posloupnosti leží na určitém segmentu , pak na stejném segmentu leží i její limita. $\forall n \in \N \dvojtečka x_n \in [a,~b] ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

Limita posloupnosti stejného čísla je rovna tomuto číslu. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Nahrazení nebo odstranění konečného počtu prvků v konvergentní číselné posloupnosti neovlivní její limit.

Vzestupná posloupnost ohraničená shora má limit. Totéž platí pro klesající posloupnost ohraničenou níže.
Produkt nekonečně velké posloupnosti ohraničené níže je nekonečně velká posloupnost.

Platí Stolzova věta .

Pokud má posloupnost limitu, pak posloupnost aritmetických průměrů má stejnou limitu (důsledek Stolzovy věty). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Pokud má posloupnost čísel limitu a je-li dána funkce , definovaná pro každé a spojitá v bodě , pak $\{x_n\}$ $X$ $f(x)$ $x_{n}$ $X$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Příklady

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \dvojtečka x_n > 0 ~ \Šipka doprava ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\nexistuje \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Případ komplexních čísel

Komplexní číslo se nazývá limita posloupnosti , pokud je možné pro libovolné kladné číslo určit takové číslo , od kterého všechny prvky této posloupnosti splňují nerovnost pro $A$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

Říká se, že posloupnost , která má limitu , konverguje k číslu , které se zapisuje jako . $\{z_n\}$ $A$ $A$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Příklady

Ne každá ohraničená posloupnost má limitu. Pokud například vezmeme jako prostor množinu reálných čísel se standardní topologií a jako posloupnost , pak nebude mít limitu (může však najít horní a dolní limity, , tedy limity svých podposloupností - částečné limity ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $jedenáct$

Viz také

Poznámky

↑ To znamená opakování čísel v zápisu čísla v nějaké pevné číselné soustavě.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .