Produkt (teorie kategorií)

Produkt dvou nebo více objektů je zobecněním v teorii kategorií takových pojmů, jako je kartézský produkt množin , přímý produkt grup a produkt topologických prostorů . Produkt rodiny objektů je v jistém smyslu nejobecnějším objektem, který má morfismy ke všem objektům rodiny.

Definice

Dovolit být indexovaná rodina (ne nutně odlišných) objektů kategorie . Objekt kategorie spolu s rodinou morfismů je produktem rodiny objektů , pokud pro jakýkoli objekt a jakoukoli rodinu morfismů existuje jedinečný morfismus, pro který je následující diagram: $\{X_i\}_{i \in I}$ $C$ $X$ $C$ $\pi_i\dvojtečka X \to X_i$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\in C$ $f_i\dvojtečka\, Y \to X_i$ $f\dvojtečka\, Y\až X$

je komutativní pro každého (tj . ). Morfismy se nazývají kanonické projekce . $i\v I$ $\pi_i \circ f = f_i$ $\pi _{i}$

Výše uvedená definice je ekvivalentní následujícímu:

Objekt spolu s rodinou projekcí je produktem rodiny objektů tehdy a jen tehdy, když pro jakýkoli objekt je mapování $X$ $\{\pi_i\}_{i \in I}$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\in C$

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

bijektivně .

Součin dvou objektů je obvykle označen a diagram má tvar $X_1 \krát X_2$

Morfismus je někdy označován . $F$ $\lang f_1,f_2 \rang$

Jedinečnost výsledku operace může být alternativně vyjádřena jako rovnost pravdivá pro libovolné . [jeden] $\lang -,- \rang$ $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$ $h$

Příklady

V kategorii sad je kategorie produkt shodná s kartézským produktem .
V kategorii topologických prostorů součin prostorů odpovídá prostoru, jehož podpora je kartézským součinem podpor faktorů a topologie je definována jako součin jejich topologií.
V kategorii skupin je produkt skupin definován jako jejich přímý produkt .
V kategorii projektivních odrůd lze kategorický produkt definovat pomocí vnoření Segre .
Částečně uspořádanou množinu lze považovat za kategorii, ve které existuje morfismus od do tehdy a jen tehdy (podle definice), když (navíc mezi dvěma objekty nemůže být více než jeden morfismus). V tomto případě je součin rodiny lineárně uspořádaných objektů jejich největší spodní hranicí a souběžný produkt je jejich nejmenší horní hranicí. $A$ $b$ $a\geqslant b$

Vlastnosti

Pokud existuje součin objektů, pak je jedinečný až do izomorfismu .
komutativnost : $a \times b \simeq b \times a.$
Asociativita : $(a\krát b)\krát c \simeq a\krát (b\krát c)$
Pokud je v kategorii terminálový objekt , pak $\ jeden$ $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
Výše uvedené vlastnosti jsou formálně podobné vlastnostem komutativního monoidu . Přesněji řečeno, kategorie, ve které je definován součin jakýchkoli dvou objektů a existuje terminální objekt, je symetrická monoidní kategorie .

Distributivita

Obecně existuje kanonický morfismus , kde plus označuje koprodukt objektů. To vyplývá z existence kanonických projekcí a vložení a z komutativnosti následujícího diagramu: $X\krát Y+X\krát Z\až X\krát (Y+Z)$

Vlastnost univerzálnosti pro zaručuje existenci požadovaného morfismu. Kategorie se nazývá distributivní , pokud je tento morfismus v ní izomorfismus . $X\krát (Y+Z)$

Transformační matice

Jakýkoli morfismus

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

generuje sadu morfismů

f_{ij} \dvojtečka a_i \to b_j

daná pravidlem a nazývaná transformační matice . Naopak jakákoli transformační matice specifikuje jedinečný odpovídající morfismus . Pokud je v kategorii nulový objekt , pak pro libovolné dva objekty existuje kanonický nulový morfismus : V tomto případě je transformační matice daná pravidlem $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ $f_{ij} \dvojtečka a_i \to b_j$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ $0,$ $x, y$ $0_{xy}:x\do 0\do y.$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i$

f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matrix} \right.

se nazývá matice identity .

Příklad

V kategorii konečněrozměrných vektorových prostorů je součin prostorů stejný jako jejich součin a je jejich přímým součtem . V tomto případě se kategorické a obvyklé definice transformační matice shodují, protože jakýkoli konečněrozměrný prostor lze rozložit na přímý součet jednorozměrných i na přímý součin jednorozměrných. Rozdíl je v tom, že v kategorické definici jsou maticové prvky transformacemi jednorozměrného prostoru na jednorozměrný prostor, zatímco v obvyklé definici se v těchto jednorozměrných prostorech volí báze a pouze souřadnice obrazu základní vektor prostoru předobrazu v základně obrazového prostoru lze specifikovat. $\mathcal{V}ect_f$

Viz také

Koprodukt je koncept dvojí k produktu.
Kartézská uzavřená kategorie

Poznámky

↑ Lambek J., Scott PJ Úvod do kategoriální logiky vyššího řádu. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.

Literatura

Bucur I., Deleanu A. Úvod do teorie kategorií a funktorů = Introduction to the theory of categpries and functors. - M .: Mir , 1972. - S. 39. - 259 s.
McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika. - M .: Fizmatlit, 2004 [1998].
Zharinov VV Některé algebro-geometrické metody v matematické fyzice . - S. 8. - 82 s.