Rozdílové schéma

Schéma rozdílu je konečný systém algebraických rovnic spojených s nějakým diferenciálním problémem obsahujícím diferenciální rovnici a další podmínky (například okrajové podmínky a/nebo počáteční rozdělení ). Diferenční schémata se tedy používají k redukci diferenciálního problému, který má kontinuitní charakter, na konečný systém rovnic, jehož numerické řešení je zásadně možné na počítačích. Algebraické rovnice spojené s diferenciální rovnicí se získávají pomocí diferenční metody , která odlišuje teorii diferenčních schémat od jiných numerických metod pro řešení diferenciálních úloh (například projekční metody, jako je Galerkinova metoda ).

Řešení diferenčního schématu se nazývá přibližné řešení diferenciální úlohy.

Formální definice sice neklade výrazná omezení na formu algebraických rovnic, ale v praxi má smysl uvažovat pouze ta schémata, která nějak odpovídají diferenciálnímu problému. Důležitými koncepty teorie diferenčních schémat jsou koncepty konvergence, aproximace, stability a konzervatismu.

Vlastnosti diferenčních schémat

Představme si následující zápis:

u(t)

je přesné řešení diferenciální rovnice.

u_{h}(t)

- přesné řešení rozdílového schématu

{\tilde {u}}_{h}(t)

- numerické řešení rozdílového schématu (se zaokrouhlením)

Pak má úkol následující vlastnosti:

\|u(t+\Delta t)-u(t)\|

- zodpovědný za podmíněnost úkolu (podmiňování) (Analogou podmíněnosti pro difury je stabilita ve smyslu dynamických systémů , často se používá stabilita Ljapunova )

a numerické řešení má následující vlastnosti:

\|u_{h}(t)-u(t)\|

- zodpovědný za aproximaci rozdílovým schématem problému ( konzistence , de:Konsistenz_(Numerik) )

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u_{h}(t)\|

- zodpovědný za stabilitu diferenčního schématu v numerickém řešení (stabilita)

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u(t)\|

- zodpovědný za konvergenci numerického řešení (k přesnému řešení) (konvergence)

Aproximace

Říká se, že diferenciální operátor definovaný na funkcích definovaných v doméně je aproximován na určité třídě funkcí operátorem konečných rozdílů definovaným na funkcích definovaných na mřížce v závislosti na kroku , pokud je splněna podmínka konvergence. $L(u)$ $u$ $D\subset {\mathbb {R}}^{N}$ $u\v U$ $R_{h}(u_{h})$ $u_{h}$ $h$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\na 0,\ \ h\na 0\ \ \ (\forall u\v U).

O aproximaci se říká, že má řád přesnosti if $k$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\leq h^{k}M,\ \ h\to 0\ \ \ (\forall u\in U),

kde je konstanta , která závisí na konkrétní funkci , ale nezávisí na kroku . Výše použitá norma se může lišit a koncept aproximace závisí na jejím výběru. Často se používá diskrétní analogie normy jednotné kontinuity : $M$ $u\v U$ $h$

||u_{h}||=\max _{{n}}|u_{h}(x_{n})|,

někdy se používají diskrétní analogy integrálních norem [1] [2] .

Příklad . Aproximace operátoru operátorem konečné diference $L(u)=u_{{xx}}$

R_{h}(u_{h})(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}} },\quad u_{i}=u(x_{i}),\quad x_{i+1}=x_{i}+h,

na ohraničeném intervalu má druhý řád přesnosti na třídě hladkých funkcí . $D\subset {\mathbb {R}}$ $U=C^{4}(D)$

Důkaz

Použití Taylorova vzorce

u_{n \pm 1} = u_n \pm h u_x(x_n) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_n) \pm \frac{h^3}{3!} u_{xxx }(x_n) + \frac{h^4}{4!} u_{xxxx}(x_n+\xi_{\pm}), \quad \xi_{\pm} \in (0, \pm h),

výsledkem je odhad:

{\bigl |}u_{{xx}}(x_{n})-R_{h}(u_{h})(x_{n}){\bigr |}={\frac {1}{h^{ 2}}}\,{\bigl |}u_{{n+1}}-2u_{{n}}+u_{{n-1}}-h^{2}u_{{xx}}(x_{ n}){\bigr |}={\frac {h^{2}}{4!}}\,{\Bigl |}u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{+} })+u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{-}}){\Bigr |}\leq {\frac {h^{2}}{4!}}\,C,

kde je konstanta

C=2\sup \limits _{{x\in D}}|u_{{xxxx}}(x)|<\infty .

Problém konečných rozdílů aproximuje diferenciální problém a aproximace má řád přesnosti , pokud jak diferenciální rovnice samotná, tak i okrajové (a počáteční) podmínky jsou aproximovány odpovídajícími operátory konečných rozdílů s řádem přesnosti ne nižším než . $k$ $k$

Příklad . Aproximace tepelné rovnice (schéma parciální diference) pomocí konečné diferenční rovnice , kde $u_{{t}}-u_{{xx}}=0$ $R_{h}(u_{h})=0$

R_{h}(u_{h})(t_{m},x_{n})={\frac {u_{n}^{{m+1}}-u_{n}^{{m}}} {\Delta t))-{\frac {u_{{n+1}}^{m}-2u_{{n}}^{m}+u_{{n-1}}^{m}}{h ^{2}}},

u_{j}^{i}=u(t_{i},x_{j}),\quad t_{{i+1}}=t_{{i}}+\Delta t,\quad x_{{j +1}}=x_{{j}}+h,\quad \Delta t=\sigma h^{2},\quad \sigma =const>0,

má druhý řád přesnosti v souřadnicích a první řád přesnosti v čase na třídě -smooth funkcí. $C^{4}$

Udržitelnost

Aproximační podmínky nestačí k tomu, aby se výsledek diferenčního schématu přiblížil přesné odpovědi pro h→0 . V případě obvodů, jejichž koeficienty nezávisí na řešení diferenciální rovnice, musí být splněna podmínka stability. Takové obvody mohou být reprezentovány jako nějaký druh lineárního operátoru , který transformuje funkční hodnoty v čase t na funkční hodnoty v čase t+h . Podmínka stability vyžaduje, aby vlastní čísla ( obecně komplexní ) tohoto operátoru nepřesáhla 1+ch v modulu , kde c>0 je nějaká konstanta , jako h→0 . Pokud tato podmínka není splněna, pak se chyby obvodu rapidně zvyšují a výsledek je tím horší, čím menší je krok.

Konvergence

Konvergence numerického řešení je chápána jako jeho konvergence k přesnému řešení při klesajícím kroku h mřížky.

\lim _{h\to 0+}\|{\tilde {y}}_{h}(t)-y(t_{n})\|=0.

(Ve smyslu mřížkové normy)

Pokud jsou splněny jak podmínka aproximace, tak podmínka stability, pak výsledek diferenčního schématu konverguje k řešení diferenciální rovnice ( Filippov-Ryaben'kii teorém ). [1] [3] V zahraniční literatuře se tato věta nazývá " Laxova věta o ekvivalenci (en) ".

Courantův stav

Courantova podmínka neboli Courant-Friedrichs-Levy Criterion (CFL) — rychlost šíření poruch v rozdílovém problému by neměla být menší než v diferenciálním. Pokud tato podmínka není splněna, pak výsledek diferenčního schématu nemusí mít tendenci řešit diferenciální rovnici. Jinými slovy, v jednom časovém kroku by částice neměla „proběhnout“ více než jednou buňkou.

V případě obvodů, jejichž koeficienty nezávisí na řešení diferenciální rovnice, vyplývá Courantova podmínka ze stability.

U hyperbolických soustav rovnic má tato podmínka často podobu

$\tau \leq \min \left({\frac {h}{|\lambda |_{{max}}}}\right)$

( je časový krok, je prostorový krok mřížky, je maximální vlastní hodnota modulu v bodě. Minimum je převzato ze všech bodů mřížky.) $\tau$ $h$ $|\lambda |_{{max}}$

Klasifikace schémat

Explicitní schémata

Explicitní obvody počítají hodnotu mřížkové funkce z dat sousedních bodů. Příklad explicitního schématu pro diferenciaci: (2. řád aproximace). Explicitní schémata jsou často nestabilní. $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Podle Godunovova teorému mezi lineárními diferenčními schématy pro transportní rovnici s řádem aproximace vyšším než první nejsou žádná monotónní.

Implicitní schémata

Implicitní schémata používají rovnice, které vyjadřují data pomocí několika sousedních výsledkových bodů. K nalezení výsledku je řešena soustava lineárních rovnic. Příklad implicitního schématu pro řetězcovou rovnici: . Implicitní schémata jsou obvykle stabilní. $f(x,t+h)-2f(x,t)+f(x,th)=f(x+h,t+h)-2f(x,t+h)+f(xh,t+h )$

Poloimplicitní schémata

V některých krocích je použito explicitní schéma, jinde implicitní (zpravidla se tyto kroky střídají).
Příklad – Crank-Nicholsonovo schéma, kdy je rozhodnutí přijato jako průměr explicitních a implicitních rozhodovacích schémat pro zlepšení přesnosti

Kompaktní obvody

Kompaktní grafy používají rovnice, které spojují výsledné hodnoty ve více sousedních bodech s datovými hodnotami ve více sousedních bodech. To umožňuje zvýšit řád aproximace. Příklad kompaktního schématu pro diferenciaci: (4. řád aproximace). ${\frac {1}{6}}f'(xh)+{\frac {2}{3}}f'(x)+{\frac {1}{6}}f'(x+h)= {\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Konzervativní schémata

Když diferenční schéma splňuje stejné integrální vztahy (například zachování energie, entropie) jako původní diferenciální rovnice, pak se mluví o vlastnosti konzervatismu. Konzervativní schémata jsou obvykle prezentována v divergentní formě.

Příklady konzervativních schémat hydrodynamiky jsou Samarského schéma , Belotserkovského metoda velkých částic .

Schémata na ofsetových mřížkách

V těchto schématech mřížky, kde je nastaven výsledek a data jsou vzájemně posunuta. Například výsledné body jsou uprostřed mezi datovými body. V některých případech to umožňuje použití jednodušších okrajových podmínek.

Viz také

Odkazy

"Differenční schémata" - kapitola Wikibooks "Rozdílová schémata pro hyperbolické rovnice"
Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Implicitní hybridní monotónní rozdílové schéma druhého řádu přesnosti
Ryaben'kiy V. S. , Filippov A. F. O stabilitě diferenčních rovnic. — M .: Gostekhizdat, 1956.
Godunov S. K. , Ryaben'kiy V. S. Úvod do teorie diferenčních schémat. — M .: Fizmatgiz, 1962.
Babenko K. I. Základy numerické analýzy. — M .: Nauka, 1986.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody, - Libovolné vydání.
Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numerické metody, - Libovolné vydání.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Metody výpočetní matematiky]. — M .: Nauka, 1977.
Shishkin GI Grid aproximace singulárně narušených eliptických a parabolických rovnic. - Jekatěrinburg: Uralská pobočka Ruské akademie věd, 1992. - ISBN 5-7691-0159-8 .

Poznámky

↑ 1 2 Ryaben'kii V. S., Filippov A. F. O stabilitě diferenčních rovnic. M., Gostekhizdat, 1956.
↑ Godunov S.K., Ryabenky V.S. Úvod do teorie diferenčních schémat. Moskva: Fizmatgiz, 1962.
↑ Babenko K.I. Základy numerické analýzy. M.: Věda. 1986.

Metoda konečných rozdílů
Obecné články	Metoda konečných rozdílů rozdílové schéma diferenční rovnice
Typy rozdílových schémat	Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsova metoda Integrace Werlet Metoda konečného rozdílu v časové doméně