Pravidelný místní kroužek

Pravidelný místní prstenec je noetherovský místní prstenec takový, že počet generátorů jeho maximálního ideálního se shoduje s Krullovou dimenzí . Název regulární se vysvětluje geometrickými důvody. Bod algebraické variety je nesingulární ( regulární ) právě tehdy, když je lokální okruh zárodků racionálních funkcí v bodě regulární. $X$ $X$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $X$

Ekvivalentní definice

Existuje několik užitečných definic pravidelného místního kruhu. Konkrétně, pokud je noetherovský místní kruh s maximálním ideálem , jsou ekvivalentní následující definice: $A$ $\mathfrak m$

Nechť kde je zvoleno co nejmenší (v žádném případě n nemůže být menší než Krullova dimenze). pravidelně pokud $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Dovolit být zbytek pole prstenu . Pak pravidelně pokud $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Zde je první dimenze dimenze vektorového prostoru a druhá je Krullova dimenze.

Nechť je globální dimenze (tj. supremum projektivních dimenzí všech -modulů .) Pak pravidelně, pokud $\mbox{gl dim } A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, v tomto případě se vždy shoduje s Krullovou dimenzí.

\mbox{gl dim } A

Příklady

Jakékoli pole je pravidelný místní kruh. Ve skutečnosti jsou pole přesně pravidelnými místními kruhy dimenze 0.
Pravidelné místní kroužky dimenze 1 jsou přesně diskrétními oceňovacími kroužky . Konkrétně kruh formálních mocninných řad ( k je libovolné pole) je pravidelný lokální kruh. Dalším příkladem je kruh p -adických čísel . $k[[x]]$
Obecněji je formální kruh mocninné řady pravidelný místní kruh dimenze d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Jestliže A je pravidelný kruh (viz definice níže ), pak kruh polynomů a kruh formálních mocninných řad jsou pravidelné. $Sekera]$ $A[[x]]$
Jakákoli lokalizace pravidelného prstence je pravidelná. Jde například o dvourozměrný pravidelný prstenec, který neobsahuje žádné pole. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
Dokončení pravidelného prstence je pravidelné.

Vlastnosti

Auslander-Buchsbaumův teorém říká, že každý pravidelný místní prstenec je faktoriální.

Pokud je úplný pravidelný místní kruh obsahující nějaké pole, pak $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

kde , a je Krullova dimenze. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Původ základních definic

Definici pravidelného lokálního prstence podal Wolfgang Krull v roce 1937, [1] ale proslavily se díky práci Oskara Zariskiho , [2] [3] který dokázal, že pravidelné lokální prstence odpovídají hladkým bodům algebraických variet. Nechť Y je algebraická varieta obsažená v n - rozměrném afinním prostoru nad dokonalým polem definovaným jako množina společných nul polynomů (v n proměnných) f 1 ,…, f m . Y je singulární v bodě P , pokud je hodnost Jacobiho matice (matice (∂ f i /∂ x j )) v tomto bodě nižší než v jiném bodě v manifoldu. Rozměr manifoldu se rovná rozdílu mezi n a hodností Jacobiánské matice v nesingulárním bodě. Zariski dokázal, že Jacobiho matice P je nesingulární právě tehdy, když je místní kruh Y v P pravidelný. (Zariski také poznamenal, že to nemusí být nutně pravda o nedokonalých polích.) Z toho vyplývá, že hladkost je vnitřní vlastností manifoldu, to znamená, že nezávisí na konkrétním vložení manifoldu do afinního prostoru. V 50. letech 20. století Auslander a Buchsbaum dokázali, že pravidelný místní prsten je faktoriální.

Mnoho vlastností místních prstenců zůstalo neprokázané až do doby, kdy se objevily odpovídající techniky homologické algebry . Jean-Pierre Serre našel popis pravidelných lokálních kruhů v homologických termínech: lokální kruh A je pravidelný právě tehdy, když má konečný globální rozměr . Je snadné dokázat, že vlastnost konečnosti globální dimenze zůstává při lokalizaci nezměněna. To umožňuje definovat pravidelnost pro všechny kruhy, ne nutně místní: kruh A se nazývá pravidelný , pokud jeho lokalizace s ohledem na libovolný primární ideál je pravidelný místní kruh. To je ekvivalentní tvrzení, že A má konečnou globální dimenzi. Zejména všechny Dedekindovy prsteny jsou pravidelné.

Poznámky

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z .: 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Algebraické variety na půdních polích charakteristiky 0, Amer. J Math. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), Koncept jednoduchého bodu abstraktní algebraické variety, Přel. amer. Matematika. soc. T. 62: 1–52

Literatura

Jean-Pierre Serre , Místní algebra, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Kapitola IV.D.