Volná skupina

Volná grupa v teorii grup je grupa , pro kterou existuje podmnožina taková, že každý prvek je zapsán jednoznačně jako součin konečného počtu prvků a jejich převrácených hodnot . (Unikátností se rozumí až triviální kombinace jako .) Říká se, že se (volně) generuje a píše: nebo pokud existuje množina prvků. $G$ $S\podmnožina G$ $G$ $S$ $st=su^{{-1}}ut$ $G$ $S$ $F_{S}$ $F_{n},$ $S$ $n$

Související, ale odlišný koncept: volná abelovská skupina (která obecně není volnou skupinou).

Konstruktivní definice

Je možné předložit explicitní konstrukci volných grup, čímž se prokáže jejich existence [1] [2] . Prvky množiny budeme považovat za "symboly" a pro každý symbol z uvedeme symbol ; množina posledně jmenovaných bude označena . Nechat $S$ $s$ $S$ $s^{{-1}}$ $S^{{-1}}$

T=S\pohár S^{{-1}}

Definujme slovo přes jako konečný řetězec (možná opakujících se) znaků z , zapsaných jeden po druhém. Společně s operací zřetězení (slepování, připisování) se z množiny slov přes stává pologrupa . Budeme předpokládat, že v množině slov je prázdné slovo , které neobsahuje symboly. Tak dostaneme monoid slov $S$ $T$ $S$ $\varepsilon$ $S.$

Například pro . , dvě slova: $S=\{a,b,c\}$ $T=\{a,a^{{-1}},b,b^{{-1}},c,c^{{-1}}\}$

\alpha =abc^{{-1}}a,~~\beta =b^{{-1}}ba^{{-1}}

a jejich zřetězení:

\gamma =\alpha \beta =abc^{{-1}}ab^{{-1}}ba^{{-1}}

Například . $\alpha \varepsilon =\alpha =abc^{{-1}}a$

Dále je představeno slovo redukční pravidlo. Pokud v nějakém slově následuje (předchází) symbol (symbol) z odpovídajícího symbolu , pak se odstranění této dvojice symbolů nazývá redukce . Slovo se nazývá redukované , pokud již nelze redukovat. Úplná redukce je postupná aplikace redukce na dané slovo, dokud se nezmenšuje. Například ze slova (viz příklad výše) se po úplné redukci získá redukované slovo: Tato definice je správná: je snadné ukázat, že různé pořadí provádění několika redukcí, pokud jsou možné, vede k jedinému výsledku. $S$ $S^{{-1}},$ $\gamma$ $abc^{{-1}}.$

Volná skupina generovaná množinou (nebo volná skupina nad ) je skupina redukovaných slov přes operaci zřetězení (následovaná kompletní redukcí výsledku v případě potřeby). $F_{S}$ $S$ $S$ $S$

Vlastnosti

Všechny volné grupy generované množinami se stejnou mocností jsou izomorfní. Mohutnost množiny generující danou volnou skupinu se nazývá její hodnost .
Volná skupina je izomorfní k produktu volné kopie . $F_{n}$ $n$ $\mathbb {Z}$
Nielsen-Schreierův teorém : každá podgrupa volné grupy je volná.
Libovolná grupa je faktorovou grupou nějaké volné grupy s ohledem na některé její podgrupy H . Generátory lze brát jako . Pak je tu přirozený epimorfismus . Jádrem H tohoto epimorfismu je množina vztahů přiřazení . $G$ $F_{S}$ $S$ $G$ $f:\;F_{S}\to G$ $G=\langle S,H\rangle$
Komutant volné grupy konečné hodnosti má nekonečnou hodnost. Například komutátor volné skupiny generované dvěma prvky je volnou skupinou generovanou všemi komutátory . $F(a,b)$ $[a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0$

Obecná vlastnost

Volná grupa je v jistém smyslu nejobecnější grupa generovaná množinou . Konkrétně pro jakoukoli grupu a jakékoli zobrazení množin existuje jedinečný grupový homomorfismus , pro který je následující diagram komutativní: $F_{S}$ $S.$ $G$ $f\dvojtečka S\to G$ $\varphi \colon F_{S}\to G,$

Existuje tedy vzájemná korespondence mezi sadami zobrazení a homomorfismy . Pro nesvobodnou skupinu by vztahy ve skupině omezovaly možné obrazy tvořících prvků skupiny. $S\to G$ $F_{S}\to G$

Tuto vlastnost lze brát jako definici volné grupy [3] , přičemž je definována pouze do izomorfismu , jako každý univerzální objekt . Tato vlastnost se nazývá univerzálnost volných skupin . Generátor se nazývá základem skupiny . Stejná volná skupina může mít různé základy. $S$ $F_{s}$

Z hlediska teorie kategorií je volná grupa funktorem z kategorie množin ${\mathbf {Sada}}$ do kategorie grup ${\mathbf {Grp}}$ , což je levý adjunkt zapomnětlivého funktoru . ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Poznámky

↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorická teorie grup . - M .: Mir, 1980. - S. 13 .
↑ Kap. 5, § 14 // Základy teorie grup / Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. - 3. vyd. - M. : Nauka, 1982. - 288 s.
↑ McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Literatura

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitola II. Skupiny // Obecná algebra / Pod obecným. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Referenční matematická knihovna). — 30 000 výtisků. — ISBN 5-02-014426-6 .