Náhodná hodnota

Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnoty představují číselné výsledky nějakého náhodného jevu nebo experimentu. Jinými slovy jde o číselné vyjádření výsledku náhodné události. Náhodná veličina je jedním ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti . [1] V matematice je obvyklé používat řecké písmeno „xi“ k označení náhodné veličiny . Pokud náhodnou veličinu definujeme přísněji, pak se jedná o funkci, jejíž hodnoty číselně vyjadřují výsledky náhodného experimentu. Jedním z požadavků na tuto funkci bude její měřitelnost , která slouží k odfiltrování těch případů, kdy jsou hodnoty této funkce nekonečně citlivé na sebemenší změny ve výsledcích náhodného experimentu. V mnoha praktických případech lze náhodnou veličinu považovat za libovolnou funkci z [ 2] . $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\Omega$ $\mathbb {R}$

Náhodná proměnná jako funkce není pravděpodobnost výskytu události , ale vrací číselné vyjádření výsledku . Důležitými charakteristikami náhodných veličin jsou matematické očekávání a rozptyl [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

Příkladem objektů, které vyžadují použití náhodných proměnných k reprezentaci jejich stavu, jsou mikroskopické objekty popsané kvantovou mechanikou . Náhodné proměnné popisují události přenosu dědičných znaků z rodičovských organismů na jejich potomky (viz Mendelovy zákony ). Mezi náhodné události patří radioaktivní rozpad atomových jader. [jeden]

Existuje řada problémů matematické analýzy a teorie čísel , pro které je vhodné považovat funkce zahrnuté v jejich formulacích za náhodné veličiny definované na vhodných pravděpodobnostních prostorech [4] .

Historie

Roli náhodné veličiny, jako jednoho ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti, poprvé jasně rozpoznal P. L. Chebyshev , který zdůvodnil v současnosti obecně přijímaný pohled na tento pojem (1867) [5] . K pochopení náhodné veličiny jako speciálního případu obecného pojmu funkce došlo mnohem později, v první třetině 20. století. Úplnou formalizovanou reprezentaci základů teorie pravděpodobnosti založenou na teorii míry poprvé vyvinul A. N. Kolmogorov (1933) [6] , načež se ukázalo, že náhodná veličina je měřitelná funkce definovaná na pravděpodobnostním prostoru . V naučné literatuře toto hledisko poprvé důsledně prosazoval W. Feller (viz předmluva k [7] , kde prezentace vychází z konceptu prostoru elementárních událostí a je zdůrazněno, že pouze v tomto případě reprezentace náhodné proměnné se stává smysluplnou).

Definice

Formální matematická definice je následující: nechť je pravděpodobnostní prostor , pak náhodná veličina je funkce měřitelná vzhledem k a Borel σ-algebra na . Pravděpodobnostní chování samostatné (nezávislé na ostatních) náhodné veličiny zcela vystihuje její rozdělení . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

Náhodná veličina může být definována jiným ekvivalentním způsobem [8] . Funkce se nazývá náhodná proměnná, jestliže pro nějaká reálná čísla a množinu událostí , jako je , patří do . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $A$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\in (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Metody hledání

Náhodnou veličinu, popisující všechny její pravděpodobnostní vlastnosti, můžete nastavit jako samostatnou náhodnou veličinu pomocí distribuční funkce , hustoty pravděpodobnosti a charakteristické funkce , určujících pravděpodobnosti jejích možných hodnot. Distribuční funkce je rovna pravděpodobnosti, že hodnota náhodné veličiny je menší než reálné číslo . Z této definice vyplývá, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny spadne do intervalu [a, b) je rovna . Výhodou použití distribuční funkce je, že s její pomocí lze dosáhnout jednotného matematického popisu diskrétních, spojitých a diskrétně-spojitých náhodných veličin. Existují však různé náhodné proměnné, které mají stejné distribuční funkce. Pokud například náhodná veličina nabývá hodnot +1 a −1 se stejnou pravděpodobností 1/2, pak náhodné veličiny a jsou popsány stejnou distribuční funkcí F(x). $F(x)$ $X$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

Dalším způsobem, jak specifikovat náhodnou veličinu, je funkční transformace náhodné veličiny . Jestliže je Borelova funkce , pak je to také náhodná proměnná. Pokud je například standardní normální náhodná proměnná , pak má náhodná proměnná rozdělení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti. Mnoho distribucí, včetně Fisherova distribuce , Studentova distribuce jsou distribucemi funkčních transformací normálních náhodných veličin. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Pokud je náhodná veličina diskrétní, pak je úplný a jednoznačný matematický popis jejího rozdělení určen uvedením pravděpodobnostní funkce všech možných hodnot této náhodné veličiny. Jako příklad zvažte binomický a Poissonův zákon rozdělení. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

Zákon binomického rozdělení popisuje náhodné proměnné, jejichž hodnoty určují počet „úspěchů“ a „neúspěchů“, když se experiment opakuje. V každém experimentu může nastat "úspěch" s pravděpodobností , "neúspěch" - s pravděpodobností . Distribuční zákon je v tomto případě určen Bernoulliho vzorcem : $N$ $p$ $q = 1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Pokud součin zůstává konstantní , když se blíží k nekonečnu , pak zákon binomického rozdělení konverguje k Poissonovu zákonu , který je popsán následujícím vzorcem: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

kde

symbol " " znamená faktoriál , $!$
$e=2.7182818284\ldots$ je základem přirozeného logaritmu .

Numerické charakteristiky náhodných veličin

Matematické očekávání nebo průměrná hodnota náhodné veličiny v lineárním normovaném prostoru X na prostoru elementárních událostí se nazývá integrál $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(za předpokladu, že funkce je integrovatelná). $\xi =\xi (\omega )$

Rozptyl náhodné veličiny je veličina rovna: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

Ve statistikách je rozptyl často označován nebo . Hodnota rovna ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2))$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\název operátora {D} \xi }}

nazývaná standardní odchylka , standardní odchylka nebo standardní rozpětí.

Kovariance náhodných proměnných je následující proměnná: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })

(předpokládá se, že jsou definována matematická očekávání).

Pokud = 0, pak náhodné proměnné a nazýváme nekorelované . Nezávislé náhodné proměnné jsou vždy nekorelované, ale obráceně to neplatí [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Funkce náhodných veličin

Jestliže je Borelova funkce a je náhodná veličina, pak její funkční transformace je také náhodná veličina. Pokud je například standardní normální náhodná proměnná , náhodná proměnná má rozdělení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti. Mnoho distribucí, včetně Fisherovy distribuce a Studentova distribuce , jsou distribucemi funkčních transformací normálních náhodných veličin. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Pokud a se společnou distribucí a je nějaká Borelova funkce, pak pro [ 10] : $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y )~.

Pokud , a jsou nezávislí, pak . Použitím Fubiniho věty dostaneme: $\phi (x,y)=x+y$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

a podobně:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Jestliže a distribuční funkce, pak funkce $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

se nazývá konvoluce a a označují . Charakteristická funkce součtu nezávislých náhodných veličin a je Fourierova transformace konvoluce distribučních funkcí a je rovna součinu charakteristických funkcí a : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Příklady diskrétní náhodné veličiny jsou údaje z rychloměru nebo měření teploty v určitých časech [11] .

Hod mincí

Všechny možné výsledky hodu mincí lze popsat prostorem hlav, ocasů nebo stručně . Nechť se náhodná veličina rovná výplatě v důsledku hození mince. Výplata nechť je 10 rublů pokaždé, když se mince dostane na vrchol, a −33 rublů, pokud se dostane na konec. Matematicky lze tuto výplatní funkci reprezentovat následovně: $\Omega =\{$ $\}$ $\{op,pe\}$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ if }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Pokud je mince dokonalá, výhra bude mít pravděpodobnost danou jako: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

kde je pravděpodobnost výhry rublů v jednom hození mincí.

P(\xi =y)

y

Házení kostkou

Náhodnou proměnnou lze také použít k popisu procesu házení kostkou a také k výpočtu pravděpodobnosti konkrétního výsledku takových hodů. Jeden z klasických příkladů tohoto experimentu používá dvě kostky a , z nichž každá může nabývat hodnot z množiny {1, 2, 3, 4, 5, 6} (počet bodů na stranách kostky). Celkový počet bodů vržených na kostce bude hodnotou naší náhodné proměnné , která je dána funkcí: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2))

a (pokud jsou kostky dokonalé) pravděpodobnostní funkce pro je dána vztahem: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ pro }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, kde je součet bodů na vržených kostkách.

S

Balíček karet

Nechte experimentátora náhodně vytáhnout jednu z karet z balíčku hracích karet . Poté bude představovat jednu z vylosovaných karet; zde není číslo, ale mapa - fyzický objekt, jehož název je označen symbolem . Poté funkce , která vezme jako argument „jméno“ objektu, vrátí číslo, se kterým budeme dále spojovat mapu . Necháme experimentátora vylosovat v našem případě Krále klubů, tedy , pak po dosazení tohoto výsledku do funkce již dostaneme číslo, např. 13. Toto číslo není pravděpodobnost vylosování krále z balíčku resp. jakákoli jiná karta. Toto číslo je výsledkem přesunu předmětu z fyzického světa do předmětu matematického světa, protože s číslem 13 je již možné provádět matematické operace, zatímco s předmětem tyto operace provádět nebylo možné. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit ))$ $\xi (K_{\clubsuit })$ ${\displaystyle K_{\clubsuit ))$

Absolutně spojitá náhodná veličina

Další třídou náhodných proměnných jsou ty, pro které existuje nezáporná funkce splňující rovnost pro libovolné . Náhodné veličiny, které tuto vlastnost splňují, se nazývají absolutně spojité a funkce se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti. $p(x)$ $X$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Počet možných hodnot absolutně spojité náhodné veličiny je nekonečný. Příklad absolutně spojité náhodné veličiny: měření rychlosti pohybu jakéhokoli druhu dopravy nebo teploty během určitého časového intervalu. [jedenáct]

Růst kolemjdoucího

Nechť je v jednom z experimentů nutné náhodně vybrat jednu osobu (označme ji jako ) ze skupiny subjektů, pak nechť náhodná veličina vyjadřuje růst osoby, kterou jsme si vybrali. V tomto případě je z matematického hlediska náhodná veličina interpretována jako funkce , která transformuje každý subjekt na číslo - jeho růst . Abyste mohli vypočítat pravděpodobnost, že výška osoby bude klesat mezi 180 cm a 190 cm, nebo pravděpodobnost, že její výška bude nad 150 cm, potřebujete znát rozdělení pravděpodobnosti , které vám spolu s a umožňuje vypočítat pravděpodobnosti určitých výsledků náhodných experimentů. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

Nejjednodušší zobecnění

Náhodná proměnná, obecně řečeno, může nabývat hodnot v jakémkoli měřitelném prostoru. Pak se často nazývá náhodný vektor nebo náhodný prvek. Například,

Měřitelná funkce se nazývá -rozměrný náhodný vektor (s ohledem na Borel -algebru na ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
Měřitelná funkce se nazývá -rozměrný komplexní náhodný vektor (také s ohledem na odpovídající Borel -algebru ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
Měřitelná funkce, která mapuje pravděpodobnostní prostor do prostoru podmnožin nějaké (konečné) množiny, se nazývá (konečná) náhodná množina.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Prochorov Yu.V. Náhodná veličina // Mathematical Encyclopedia / Ed. Vinogradova I. M. - M .: Sovětská encyklopedie, 1985.-V.5.- Pp. 9.- 623 str.
↑ Černovová, 2007 , s. 49-50.
↑ Náhodná proměnná - článek z Velké sovětské encyklopedie .
↑ Katz M., Statistická nezávislost v teorii pravděpodobnosti, analýze a teorii čísel, přel. z angličtiny, M., 1963.
↑ Čebyšev P. L., O průměrných hodnotách, v knize: Kompletní. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, 2. vyd., M., 1974
↑ V. Feller, Úvod do teorie pravděpodobnosti a její aplikace, přel. z angličtiny, 2. vyd., díl 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Kapitola 6. Náhodné veličiny a jejich rozdělení § 1. Náhodné veličiny // Teorie pravděpodobnosti . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirská státní univerzita. un-t, 2007. - 160 s.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Protipříklady v pravděpodobnosti a statistice. - Belmont, Kalifornie: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 s. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev A.N. Pravděpodobnost. — M:. : Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1989. - 640 s. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 Vzdělávací portál TSU . edu.tltsu.ru _ Datum přístupu: 26. června 2020. (neurčitý)

Literatura

Gnedenko B. V. Kurz teorie pravděpodobnosti. - 8. vyd. přidat. a správné. - M. : Editorial URSS, 2005. - 448 s. — ISBN 5-354-01091-8 .
Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Prochorov Yu.V .. - 2. vyd. - M .: "Sovětská encyklopedie", 1998. - 847 s.
Tichonov V.I., Kharisov V.N. Statistická analýza a syntéza radiotechnických zařízení a systémů. — Učebnice pro vysoké školy. - M . : Rozhlas a komunikace, 1991. - 608 s. — ISBN 5-256-00789-0 .
Chernova N.I. Teorie pravděpodobnosti . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirská státní univerzita. un-t, 2007. - 160 s.

Odkazy

Vícerozměrné náhodné proměnné