Náhodná kompaktní sada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. března 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Náhodná kompaktní množina je náhodná proměnná s hodnotami v kompaktních množinách . Náhodné kompaktní množiny se používají při studiu atraktorů náhodných dynamických systémů .

Definice

Dovolit být soubor všech kompaktních podmnožin . Na jednom lze definovat Hausdorffovu metriku : $\mathcal{K}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathcal{K}$ $h$

h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon),K_{2 }\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.

S takovou metrikou se množina stává kompletním oddělitelným metrickým prostorem . Odpovídající otevřené podmnožiny generují Borelovu algebru množiny . $h$ $\mathcal{K}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}_{K}$ $\mathcal{K}$

Pak náhodná kompaktní množina je měřitelná funkce z nějakého pravděpodobnostního prostoru do měřitelného prostoru . Náhodné kompaktní množiny jsou v tomto smyslu stejné jako Matheronovy náhodné uzavřené množiny [1] . Proto je jejich rozložení dáno pravděpodobnostmi $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ $({\mathcal {K}),{\mathfrak {B}}_{K})$

\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K)).

Rozložení náhodné kompaktní konvexní množiny je dáno také systémem všech pravděpodobností inkluze $\mathbf {P} (X\podmnožina K).$

Související definice

Pro , je definována pravděpodobnost , která vyhovuje vztahu Poté lze funkci pokrytí specifikovat vzorcem Funkce pokrytí nabývá hodnot mezi a a lze ji interpretovat jako očekávání funkce indikátoru $K=\{x\}$ $\mathbf {P} (x\in X)$ $\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\ne \in X).$ $p_{X}$ $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ $0$ $jeden$ $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Množina všech c se nazývá báze $b_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)>0$ $X.$

Množina všech s se nazývá jádro , množina pevných bodů nebo esenciální minimum . Jestliže je posloupnost nezávislých identicky rozložených náhodných kompaktních množin, pak téměř jistě a téměř jistě k nim konverguje $k_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)=1$ $e(X)$ $X_{1},X_{2},\ldots$ $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i))$ $e(X).$

Poznámky

↑ Matheron, J. (1978) Náhodné množiny a integrální geometrie, přel. z angličtiny, M.: Mir.

Literatura

Matheron, J. (1978) Náhodné množiny a integrální geometrie, přel. z angličtiny, M.: Mir.
Stoyan D. a H. Stoyan (1994) Fraktály, náhodné tvary a bodová pole. John Wiley & Sons, Chichester, New York.